La geometria analitica della retta nel piano cartesiano

L’equazione ax + by + c = 0 è detta equazione implicita di una retta nel piano.
Una qualunque retta del piano è rappresentata da questa equazione.

Data una retta generica r nel piano cartesiano, la validità dell’equazione, per rette del piano comunque orientate, si può dimostrare facendo ricorso al teorema di Talete di proporzionalità dei segmenti corrispondenti staccati da fasci di rette intersecantisi.

Consideriamo il grafico

Dati i punti P₁ e P₂ che individuano la retta r, consideriamo il generico punto P, supposto interno al segmento P₁P₂ , ma la dimostrazione che segue vale anche se esterno a P₁P₂, e notiamo che per il teorema di Talete sui fasci di rette intersecantisi, grazie al quale sappiamo che

il rapporto tra segmenti di una retta è uguale a quello tra i segmenti corrispondenti sulla retta intersecata;

nel nostro caso le rette sono r e l’asse delle x prima e quello delle y dopo.

Per Talete, applicato ai segmenti dell'intersezione tra la retta r e l'asse delle x, si ha:

HH₁ H₂H₁ = PP₁ P₂P₁

e in modo analogo per la retta r e l'asse delle y

EE₁ E₂E₁ = PP₁ P₂P₁

così dall'uguaglianza dei secondi membri discende quella dei primi, ottenendosi

EE₁ E₂E₁ = HH₁ H₂H₁

Ma risulta

HH₁ = x – x₁ H₂H₁ = x₂ - x₁ EE₁ = y – y₁ E₂ E₁ = y₂ – y₁

e quindi, sostituendo, si ha

y – y₁ y₂ – y₁ = x – x₁ x₂ - x₁

da qui, riducendo a denominator comune e moltiplicando entrambi i membri per esso, si ha

(y – y₁)·(x₂ - x₁) = (x – x₁)·(y₂ – y₁)

e moltiplicando in maniera opportuna, togliendo le parentesi

y·(x₂ - x₁) – y₁·(x₂ - x₁) = x·(y₂ – y₁) – x₁·(y₂ – y₁)

portando tutto a primo membro e ordinando, si ha

-x·(y₂ – y₁) + y·(x₂ - x₁) + x₁·(y₂ – y₁) – y₁·(x₂ - x₁) = 0

ed elaborando il termine noto per moltiplicazione e semplificazione di termini simili, si ottiene

-x·(y₂ – y₁) + y·(x₂ - x₁) + x₁·y₂ – y₁·x₂ = 0

e ponendo

a = -(y₂ – y₁) b = (x₂ - x₁) c = x₁·y₂ – y₁·x₂

si ha:

ax + by + c = 0

come volevasi dimostrare.

Vediamo i casi particolari che si ottengono dall'azzeramento di uno o più coefficienti a, b, c

Se a = 0, b ≠ 0, c ∈ R, allora l'equazione diventa by + c = 0 da cui y = - c b cioè y = k con k ∈ R dove

y = k rappresenta l'equazione del fascio improprio delle rette parallele all'asse x, asse x compreso (se c = 0)

Se b = 0, con a ≠ 0, c ∈ R allora l'equazione diventa ax + c = 0 da cui x = - c a cioè x = k con k ∈ R dove

x = k rappresenta l'equazione del fascio improprio delle rette parallele all'asse y, asse y compreso (se c = 0)

Tornando alla formula trovata precedentemente applicando il teorema di Talete, essa si può scrivere anche come y – y₁ = y₂ – y₁ x₂ - x₁ (x – x₁) o anche
y = y₂ – y₁ x₂ - x₁ (x – x₁) + y₁; togliendo le parenti moltiplicando per separare i termini con variabili dai prodotti costanti, si ottiene

y = y₂ – y₁ x₂ - x₁ x + y₁ – y₂ – y₁ x₂ - x₁ x₁

Notare che si può ottenere anche, sempre applicando Talete

y = y₂ – y₁ x₂ - x₁ x + y₂ – y₂ – y₁ x₂ - x₁ x₂

quindi, ponendo

m = y₂ – y₁ x₂ - x₁ n = y₁ – y₂ – y₁ x₂ - x₁ x₁ = y₂ – y₂ – y₁ x₂ - x₁ x₂

si ottiene y = m x + n che è l'equazione della retta in forma esplicita da notare che affinchè m ed n non siano indeterminati è necessario che x₂ ≠ x₁, cioè è necessario che le ascisse dei due punti siano diverse e quindi la retta passante non sia perpendicolare all'asse delle ascisse.

Quindi la forma esplicita non rappresenta il fascio improprio x = k .

Per determinare l'equazione di una retta, allora, utilizzando la forma esplicita, basterà imporre la condizione di passaggio per due punti dati.

Siano dati i punti P(x_P; y_P) e Q(x_Q; y_Q), imponiamo il passaggio per P e per Q, mettendo a sistema le due equazioni ottenute:

y_P = m x_P + n
y_Q = m x_Q + n

sottraendo membro a membro si ottiene y_P - y_Q = m (x_P - x_Q) e quindi, note le coordinate di P e Q, si determina il coefficente angolare
m = y_P – y_Q x_P - x_Q

noto il coefficiente angolare, si sostituisce in una delle equazioni, per esempio in quella espressa per il punto P. e si trova l'ordinata all'origine n

y_P = y_P – y_Q x_P - x_Q x_P + n e quindi si esplicita rispetto all'ordinata all'origine n = y_P - y_P – y_Q x_P - x_Q x_P o sostituendo nell'altra equazione, scritta rispetto a Q

n = y_Q - y_P – y_Q x_P - x_Q x_Q

Distanza tra due punti del piano

Siano M(x_M; y_M) ed N(x_N; y_N) i due punti generici considerati, appartenenti, per fissare le idee, alla retta r del piano cartesiano dove il triangolo MNP è chiaramente rettangolo in P; allora per il Teorema di Pitagora risulta

MN = (MP² + NP²)^½ dove MP² = (x_M - x_P)² = (x_M - x_N)² e NP² = (y_N - y_P)^² = (y_N - y_M)² e quindi

MN = [(x_M - x_N)² + (y_M - y_N)²]^½ = [(x_N - x_M)² + (y_N - y_M)²]^½

Equazione di un fascio di rette

Si è visto che le notazioni y = k e x = k sono le equazioni di due fasci impropri di rette; che sono rispettivamente il fascio improprio delle rette parallele all'asse x e il fascio improprio delle rette parallele all'asse y assi compresi se k ∈ R.

Si definiscono fasci impropri perchè le rette del fascio non si intersecano mai, essendo parallele; si dice anche che hanno il polo all'infinito.
I fasci propri di rette hanno invece un punto dove tutte le rette del fascio si intersecano ed esso è chiamato polo.
Così, data una retta y = m₁ x + n dove m₁ è un valore ben determinato, con n invece variabile, è chiaro che si tratta dell'equazione del fascio improprio (di rette parallele) con coefficiente angolare m₁.
Quindi l'equazione del fascio improprio, sapendo che m = 2, è data da y = 2 x + n; dove ovviamente le rette differiscono solo per l'ordinata all'origine.

Così per definire l'equazione di un fascio proprio, con polo un punto P(x_P; y_P), basterà mettere a sistema l'equazione della retta generica con quella passante per P

y = m x + n

y_P = m x_P + n

sottraendo membro a membro si ottiene y - y_P = m (x - x_P) dove ora l'equazione della retta dipende solo dal coefficiente angolare; cioè, attribuendo ad m un valore, resta determinata la retta del fascio. Ovviamente è esclusa la perpendicolare all'asse x passante per P che non è rappresentata dall'equazione.

Se invece si vuole esprimere l'equazione del fascio proprio usando la forma implicita, bisognerà mettere a sistema l'equazione generale, con quella che si ottiene dando alle variabili x, y le coordinate del punto P(x_P; y_P)

a x + b y + c = 0

a x_P + b y_P + c = 0

sottraendo membro a
membro si ottiene a (x - x_P) + b (y - y_P) = 0 che è l'equazione del fascio in forma implicita.

È facile passare all'equazione del fascio in forma esplicita, bastando dividere per b e portando il termine in x a secondo membro.

a (x - x_P) + b (y – y_P) b = 0 ==> y – y_P = - a (x - x_P) b ==> y = - a b (x - x_P) + y_P dove m = - a b

Condizione di parallelismo di un fascio improprio di rette

Vediamo qual è la condizione di parallelismo tra due o più rette; e per fare ciò consideriamo il seguente grafico

Siano y = m x + n e y = m' x + n' le equazioni esplicite delle due rette; e ricordiamo che

y_A = m x_A + n y_B = m x_B + n y_C = m'x_C + n' y_D = m'x_D + n'

Essendo il quadrilatero ABCD un parallelogramma, possiamo scrivere

AB = CD ==> AB² = CD² vale a dire (x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² = (x_C - x_D)² + (y_C - y_D)²

e quindi per le relazioni lineari tra ascissa e ordinata di un punto

(x_A - x_B)² + [(m x_A + n) - (m x_B + n)]² = (x_C - x_D)² + [(m' x_C + n') - (m' x_D + n')]²

e allora

(x_A - x_B)² + (m x_A - m x_B)² = (x_C - x_D)² + (m' x_C - m' x_D)²

(x_A - x_B)² + m² (x_A - x_B)² = (x_C - x_D)² + m'² (x_C - x_D)²

(x_A - x_B)² (1 + m²) = (x_C - x_D)² (1 + m'²)

e poichè (x_A - x_B)² = (x_C - x_D)² si può semplificare ottenendo 1 + m² = 1 + m'² ==> m² = m'² ==> m = m' che è la condizione di parallelismo cercata.

Condizione di perpendicolarità tra due rette

Per ricavare la condizione di perpendicolarità tra due rette, consideriamo il seguente grafico

Il 2° Teorema di Euclide, relativo ad un triangolo rettangolo, si enuncia dicendo

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

Guardando il grafico a sinistra, il triangolo AOB è rettangolo in AôB , OH è l'altezza relativa all'ipotenusa AB, AH e BH sono le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa; per cui si può scrivere

BH : OH = OH : AH

cioè

OH² = AH · BH

dove le rette per A e per B perpendicolari tra loro, a cui appartengono i cateti, hanno rispettivamente equazioni

y = m x e y = m' x perchè passanti per l'origine, per cui risulta OH = x_H = x_A = x_B

inoltre si ha AH = y_A = m x_A e BH = -y_B = -m' x_B

e sostituendo in OH²

x_A² = m x_A·(-y_B) = m x_A·(-m' x_B)

cioè

x_A² = m x_A·(-m' x_A)

vale a dire m m' = -1 o anche m = - 1 m' che è la condizione di perpendicolarità di due rette, appunto.

Distanza di un punto dato A(x_A; y_A) da una retta del piano

Sia Q(x_Q; y_Q) il punto e y = m x + n la retta r , in modo che risulti y_Q ≠ m x_Q + n, cioè tali che il punto risulti esterno alla retta.
Risulta che i triangoli MPQ e NPR sono rettangoli e simili, per cui i lati corrispomdenti sono in proporzione, cioè si può scrivere

PQ : PR = MQ : NR

PQ · NR = PR · MQ

e sostituendo

|y_Q - (m x_Q + n)| · |x_Q - x_R| = MQ · |x_Q - x_R| (1 + m²)^½

da cui

MQ = |y_Q - (m x_Q + n)| (1 + m²)^½

oppure, volendo ricavarsi la formula se l'equazione della retta è in forma implicita, sapendo che risulta m = - a b e n = - c b con semplici sostituzioni e passaggi si trova

MQ = |a x_Q + b y_Q + c| (a² + b²)^½

ESERCIZI sulla RETTA

1) dati i punti A(2; 3) e B(-3; -3), determinare l'equazione della retta in forma implicita ed esplicita

Si può ricavare il coefficiente angolare m della retta con la formula m = y_A - y_B x_A - x_B = 3 - (-3) 2 - (-3) = 6 5

e successivamente l'ordinata all'origine n, inserendo il valore trovato per m per esempio in y_A = m x_A + n

da cui si ricava n = y_A - m x_A = 3 - 6 5 · 2 = 3 - 12 5 = 3 5 e di conseguenza

l'equazione della retta passante per A e B è

y = 6 5 x + 3 5

Infine, l'equazione in forma implicita si trova con semplici passaggi

6x - 5y + 3 = 0

2) data l'equazione del polo im forma implicita, y - mx + (2m - 2) = 0 determinare le coordinate del polo P;
successivamente determinare il punto di intersezione Q tra la retta r: 3y -2x + 4 = 0 e la retta del fascio perpendicolare alla retta r, e la distanza PQ

date l'equazione generale y = mx + n e quella che si ottiene sostituendo le coordinate del polo, nel caso generale P(x₀; y₀), cioè y₀ = m x₀ + n, sappiamo che l'equazione del polo si ottiene sottraendo membro a membro, cioè
y - y₀ = m (x - x₀); quindi, per riconoscere le coordinate del polo, basterà scrivere l'equazione data allo stesso modo, cioè
y - 2 = m(x - 2) da cui si evince che P(2; 2).
La retta r ha equazione esplicita y = + 2 3 x - 4 3 , da cui si deduce che la retta del fascio a questa perpendicolare deve avere
m = - 3 2 e, sostituendo nell'equazione del fascio, si ha

y - 2 = - 3 2(x - 2)

cioè

y = - 3 2 x + 5 (equazione della perpendicolare)

A questo punto, mettendo a sistema le equazioni delle due rette perpendicolari, si trovano le coordinate del punto Q

y = - 3 2 x + 5
y = + 2 3 x - 4 3

uguagliando i secondi membri - 3 2 x + 5 = + 2 3 x - 4 3

3 2 x + 2 3 x = 5 + 4 3

13 6 x = 19 3

Cioè x = 38 13 e sostituendo in una delle due equazioni, si trova l'ordinata di Q che risulta con semplici calcoli y = 8 13; quindi risulta Q( 38 13; 8 13)
Per finire troviamo PQ = [(x_P - x_Q) + (y_P - y_Q)]^½ = ... = 6 √13 13

3) date le equazioni delle rette in forma implicita, x + y + 1 = 0 e x - y + 2 = 0 , trovare le coordinate dell'intersezione P.
Note le coordinate di M ed N, intersezioni delle rette date con l'asse delle ordinate, determinare le lunghezze dei lati individuati dalle rette e dall'asse y, quindi calcolare l'area del triangolo MNP applicando la formula di Erone

Per trovare le coordinate del punto P, mettiamo a sistema le equazioni delle 2 rette date

x + y + 1 = 0
x - y + 2 = 0

da cui si ricava P( - 3 2; 1 2)

A questo punto calcoliamo la lunghezza dei tre lati del triangolo

a = MP = √(x_{_M} - x_{_P})² + (y_{_M} - y_{_P})² = (0 + 3 2)² + ² (2 - 1 2)² ^{^{1

2}} = 3 2√2

b = MN = √(x_{_M} - x_{_N})² + (y_{_M} - y_{_N})² = (0 - 0 )² + ² (2 + 1)² ^{^{1

2}} = 3

c = NP = √(x_{_N} - x_{_P})² + (y_{_N} - y_{_P})² = (0 + 3 2)² + ² (- 1 2 - 1)² ^{^{1

2}} = 3 2√2

Calcoliamo il perimetro, indicato tradizionalmente con 2p

2p = MP + MN + NP = 3 2√2 + 3 + 3 2√2 = 3 (√2 + 1)

Calcoliamo l'area A_t utilizzando la formula di Erone

A_t = √p (p - a) (p - b) (p - c) dove con p abbiamo indicato il semiperimetro avendo dunque

p = 3 2 (√2 + 1)

p - a = 3 2 (√2 + 1) - 3 2 √2 = 3 2

p - b = 3 2 (√2 + 1) - 3 = 3 2 (√2 - 1)

p - c = 3 2 (√2 + 1) - 3 2 √2 = 3 2

Risulta

p · (p - a) · (p - b) · (p - c) = 3 2 (√2 + 1) · 3 2 · 3 2(√2 - 1) · 3 2 = 81 16(√2 - 1) · (√2 + 1) = 81 16 da cui A_t = 9 4

La geometria analitica della parabola nel piano cartesiano

La definizione di parabola come luogo geometrico è la seguente

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto chiamato fuoco F e da una retta chiamata direttrice d

si considerano parabole ad asse verticale, in tal caso la direttrice risulta essere una retta del tipo y = d o parabole ad asse orizzontale e in quest'ultimo caso la retta direttrice è del tipo x = d. Si può schematizzare come nel grafico qui di seguito

Dove per definizione deve risultare PF² = PH² essendo (x - x_F)² + (y - y_F)² = (y - d)² e sviluppando i quadrati si ha

x² + x_F² - 2xx_F + y² + y_F² - 2yy_F = y² + d² - 2d y

portando tutto a primo membro e semplificando

x² + x_F² - 2xx_F + y_F² - 2yy_F = d² - 2d y

- 2(y_F - d) y + x² - 2x_F x + x_F² + y_F² - d² = 0

e risolvendo rispetto a y

- 2(y_F - d) y = - x² + 2x_F x - (x_F² + y_F² - d²)

dividendo tutto per -2(y_F - d) si ha

y = x² 2 (y_F - d) - x_F y_F - d x + x_F² + y_F² - d² 2 (y_F - d)

e quindi, ponendo

a = 1 2 (y_F - d); b = - x_F y_F - d c = x_F² + y_F² - d² 2 (y_F - d)

si ottiene y = a x² + b x + c che è la nota equazione completa della parabola ad asse verticale.

Non ci resta che ricavarci le coordinate del fuoco, le equazioni di asse della parabola e direttrice, e le coordinate del vertice in funzione dei coefficienti a, b, c dell'equazione della parabola.

A questo proposito partiamo da

a = 1 2 (y_F - d); b = - x_F y_F - d c = x_F² + y_F² - d² 2 (y_F - d)

dalla prima relazione si ha
y_F - d = 1 2 a che sostituita nella seconda b = - 2a x_F cioè x_F = - b 2 a che consentono alcune sostituzioni nella terza c = (- b 2 a)² + y_F² - d² 2(y_F - d)

2c (y_F - d) = b² 4 a² + y_F² - d² (4) essendo inoltre

y_F = 1 2 a + d la (4) si può scrivere c a = b² 4 a² + ( 1 2 a + d)² - d² sviluppando il quadrato in parentesi c a = b² 4 a² + 1 4 a² + d² + d a - d² eliminando i termini uguali ed opposti e risolvendo rispetto a d ===> d a = c a - b² 4 a² - 1 4 a² cioè d = c - b² 4 a - 1 4 a inoltre riducendo a secondo membro allo stesso denominatore d = 4ac - b² - 1 4 a infine, cambiando di segno, mettendolo in evidenza a secondo membro, e riordinando, si ottiene una delle formule cercate che ci da l'equazione della direttice

d = - 1 - (b² - 4ac) 4 a

d = - 1 - Δ 4 a

e dal momento che y_F = 1 2 a + d si può sostituire in questa il
valore trovato per la direttrice, ottenendo così l'ordinata del fuoco

y_F = 1 2 a - 1 - Δ 4 a

y_F = 2 - 1 + Δ 4 a

y_F = 1 + Δ 4 a

dunque per il fuoco della parabola abbiamo F ( - b 2 a; 1 + Δ 4 a)
Dal momento che il vertice della parabola ha la medesima ascissa del fuoco, si può scrivere x_{_V} = - b 2 a e per trovare l'ordinata del vertice, basta osservare, nota l'ascissa, che il vertice è un punto della parabola e quindi si deve verificare y_{_V} = a x_{_V}² + b x_{_V} + c

y_{_V} = b² 4 a - b² 2 a + c

y_{_V} = b² - 2 b² + 4ac 4 a

y_{_V} = - b² - 4ac 4 a

y_{_V} = - Δ 4 a

dunque per il vertice della parabola abbiamo V ( - b 2 a; - Δ 4 a)

ESERCIZI sulla PARABOLA

1) trovata l'equazione della parabola passante per i punti A(-1; 0), B(0; -2) e C(2; 0), determinare l'equazione delle rette del fascio avente polo P(2; -2) che risultino tangenti alla parabola suddetta.

Data l'equazione generale della parabola y = a x² + b x + c, sostituendo le coordinate dei punti dati e mettendo a sistema, si ha

a - b + c = 0
c = -2
4a + 2b + c = 0

⇉
⇉
⇉

c = -2
a - b - 2 = 0
4a + 2b - 2 = 0

moltiplicando la seconda per 2

c = -2
2a - 2b - 4 = 0
4a + 2b - 2 = 0

riscrivendo la prima e la seconda e come terza la somma di seconda e terza

c = -2
a - b - 2 = 0
6a - 6 = 0

cioè

a = 1
b = -1
c = -2

e quindi si ottiene la parabola y = x² - x - 2

troviamo l'equazione del fascio proprio che ha come polo P(2; -2), mettendo a sistema l'equazione generale, con quella in m ed n che si ottiene sostituendo le coordinate del polo

y = m x + n
-2 = 2m + n

sottraendo membro a membro y + 2 = m(x - 2) che è l'equazione del fascio

A questo punto mettiamo a sistema l'equazione della parabola con quella del fascio

y = x² - x - 2
y = m(x -2) - 2

e uguagliando i secondi membri e semplificando

x² - (1 + m) x + 2m = 0

che è l'equazione di secondo grado che ci da le intersezioni tra il fascio di rette e la parabola.

Ora una retta del fascio può, a seconda del discriminante Δ (delta)

intersecare la parabola in due punti, quindi sarà una secante (Δ > 0) perchè le soluzioni sono reali e distinte
avere con la parabola un punto in comune, in tal caso è retta tangente (Δ = 0) perchè le soluzioni sono reali e coincidenti
non avere punti in comune con la parabola (Δ < 0) e le soluzioni sono complesse coniugate

per trovare allora le rette tangenti occorre uguagliare a zero il discriminante, ottenendo così un'equazione in cui l'incognita è il coefficiente angolare m.

Nel caso nostro evidentemente abbiamo Δ = 0 dove Δ = b² - 4ac con b = - (1 + m) c = 2m e a = 1 e di conseguenza si ha
(1 + m)² - 8m = 0 sviluppando 1 + m² + 2m - 8m = 0 semplificando m² - 6m + 1 = 0 e risolvendo m = 3 ± √2 e quindi per le tangenti si hanno le equazioni

y = (3 ± √2)·(x - 2) - 2

2) trovata l'equazione della parabola passante per i punti A(1; 3), B( 3 2; 2) e C( 5 2; 3) si consideri il fascio improprio y = 3x + n e si calcolino i valori per i quali le rette del fascio risultino

secanti alla parabola
tangenti alla parabola
non taglino la parabola
successivamente, trovato il punto K in cui la retta del fascio tangente alla parabola taglia l'asse delle ordinate, determinare l'equazione dell'altra tangente, se esistente

La situazione è raffigurata nel grafico a sinistra. Comunque procediamo per gradi, determinando anzitutto l'equazione della parabola imponendo il passaggio per i 3 punti dati.
Data l'equazione generale y = ax² + bx + c, imponendo il passaggio rispettivamente per A, B e C si ottiene il sistema

3 = a + b + c
2 = 9 4 a + 3 2 b + c
3 = 25 4 a + 5 2 b + c

sottraendo la prima equazione dalla seconda e dalla
terza, si elimina il parametro c, ottenendo il sistema

21 a + 6 b = 0
5 a + 2 b = - 4

da cui, con semplici passaggi, calcolando anche il parametro c, si ottiene

a = 2
b = - 7
c = 8

ottenendosi quindi per la parabola l'equazione y = 2x² - 7x + 8
A questo punto, mettiamo a sistema la parabola con il fascio improprio

y = 2x² - 7x + 8
y = 3x + n

uguagliando i secondi
membri, otteniamo
l'equazione

2x² - 7x + 8 = 3x + n ossia 2x² - 10x + (8 - n) = 0 e quindi Δ 4 = 25 - 2(8 - n) = 9 + 2n

e da qui si può concludere che

per n > - 9 2 le rette (2) sono secanti la parabola
per n = - 9 2 le rette (2) sono tangenti alla parabola
per n < - 9 2 le rette (2) non hanno nessun punto in comune con la parabola

Naturalmente la retta del fascio che risulta tangente alla parabola ha equazione y = 3x - 9 2 (in rosso nel grafico, passante per il punto K), mentre per la seconda tangente, se esiste, alla parabola passante per K ha equazione y = - 17x - 9 2 la retta per K colorata in verde.
Infatti basta mettere a sistema parabola e fascio proprio con polo K e imporre la condizione di tangenza

y = 2x² - 7x + 8
y = m x - 9 2

ottenendo, uguagliando i secondi membri, l'equazione
2x² - 7x + 8 = mx - 9 2 ossia 4x² - 2(7 + m)x + 25 = 0 e la condizione di tangenza, calcolando con la ridotta del discriminante Δ 4 = 0

(7 + m)² - 100 = 0

m₁ = 3;
m₂ = -17

Come già detto.

3) data l'equazione della parabola y = 2x² - 8x trova la misura della corda AB che si ottiene intersecando la parabola con la retta di equazione y = 3x - 12.
Determina poi sull'asse delle y un punto C che formi con AB un triangolo isoscele ABC con base AB.
Per finire calcolare l'area del triangolo isoscele individuato

Per determinare la misura della corda AB, mettiamo a sistema le equazioni della parabola e della retta date, per trovare le coordinate dei punti A e B

y = 2x² - 8x
y = 3 x - 12

2x² - 8x = 3 x - 12
y = 3 x - 12

2x² - 11x + 12 = 0
y = 3 x - 12

x = 11 ± √121 - 96 4
y = 3 x - 12

x_A = 4
y_A = 0

x_B = 3 2
y_B = - 15 2

La corda AB si calcola facilmente con la formula della distanza tra due punti

AB = √(x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² = [(4 - 3 2)² + (0 + 15 2)²] ^{^{1

2}} = 5 2 √10
Evidentemente le coordinate del punto medio di AB si trovano aggiungendo alla coordinata minore (nel nostro caso è quella di B) la differenza delle coordinate degli estremi, cioè

x_H = x_A - x_B 2 + x_A = x_A + x_B 2 = (4 - 15 2) · 1 2 = 11 4
y_H = y_A - y_B 2 + y_A = y_A + y_B 2 = (0 - 15 2 ) · 1 2 = - 15 4

E quindi abbiamo che l'equazione della retta passante per C e H, che è perpendocolare a quella data con coefficiente angolare m = 3, ha quindi coefficiente angolare m' = - 1 3, e pertanto fa parte del fascio improprio y = - 1 3 x + n, e si determina completamente appunto imponendo il passaggio per il punto H

Dunque possiamo scrivere y_H = - 1 3 x_H + n

- 15 4 = - 1 3 · 11 4 + n

n = - 15 4 + 11 12 = - 17 6 e quindi l'equazione della retta passante per C e H è
y = - 1 3 x - 17 6 e di conseguenza le coordinate del punto C sono C(0; - 17 6).

Per il calcolo dell'area del triangolo isoscele ABC, occorre determinare l'altezza CH relativa alla base AB, calcolata ovviamente come distanza tra i punti C e H:

CH = [(x_C - x_H)² + (y_C - y_H)²] ^{^{1

2}} = [0 - 11 4)² + ( - 17 6 + 15 4)²] ^{^{1

2}} = [ ( 11 4)² + ( 11 12)²] ^{^{1

2}} = 11 12 · √10

Fatto ciò, si può procedere con la nota formula per il calcolo dell'area di un triangolo

A_t = AB · CH 2 = 1 2 · 5 2 √10 · 11 12 √10 = 225 24

4) data la parabola di equazione y = x² - 4x e la retta y = - 6x - 1, verificare che esse sono tangenti in un punto A e calcolare l'area del triangolo AVF dove V, F sono rispettivamente vertice e fuoco della parabola.

Intanto, calcoliamo le coordinate di vertice e fuoco della parabola, considerando che si ha

V( - b 2a; - Δ 4a) e F( - b 2a; 1 - Δ 4a )

- b 2a = - - 4 2 = 2; - Δ 4a = - (b² - 4ac) 4a = - 4 quindi si ha V(2; - 4 ) e così

F( - b 2a; 1 - Δ 4a) e poiché 1 - Δ 4a = 1 - 16 4 = - 15 4 risulta che F(2; - 15 4) e, visto che ci siamo, calcoliamo anche l'equazione della direttrice

y = - 1 + Δ 4a

y = - 1 + b² - 4ac 4a

y = - 17 4

Mettendo a sistema le equazioni di retta e parabola ed eguagliando a zero il discriminante dell'equazione in x che otteniamo dai secondi membri, otteniamo il punto di tangenza A

y = x² - 4x
y = - 6x - 1

x² - 4x = - 6x - 1
y = - 6x - 1

x² + 2x + 1 = 0
y = - 6x - 1

x_A = - 1
y_A = + 5

SOLUZIONE DOPPIA! sono le
coordinate del punto A di tangenza

A questo punto calcoliamo, con la formula della distanza tra due punti, le lunghezze dei lati AV, AF, FV del triangolo AFV

AV = √(x_A - x_V)² + (y_A - y_V)² = √(- 1 - 2)² + (+5 + 4)² = 3 √10 dove AV è la base del triangolo di cui calcolare l'area.

E determiniamo l'equazione della retta passante per i punti A e V, imponendone il passaggio:

y - y_A = y_A - y_V x_A - x_V (x - x_A)

y - 5 = 5 + 4 -1 - 2 (x + 1)

y = - 3x + 2

Non ci resta che trovare l'altezza FH del triangolo AFV e per fare ciò usiamo la formula per calcolare la distanza del punto F dalla retta
y = -3x + 2 che corrisponde all'altezza del triangolo rispetto alla base AV, avendosi

FH = |y_F - (-3 x_F + 2)| √1 + 9 = |- 15 4 - (-3 ·2 + 2)| √1 + 9 = |- 15 4 + 4| √10 = √10 40

da cui l'area del triangolo AFV con la nota formula

A_t = AV · FH 2 = 1 2 · 3 √10 · √10 40 = 3 8

A questo punto troviamo il fascio improprio delle rette perpendicolari alla retta passante per A e per F che è evidentemente

y = 1 3 x + n (ricavata con la condizione di perpendicolarità)

e quindi imponiamo il passaggio per il fuoco F per selezionare la retta del fascio improprio che individua il segmento FH.

y - y_F = 1 3 (x - x_F)

y + 15 4 = 1 3 (x - 2)

y = 1 3 x - 2 3 - 15 4

y = 1 3 x - 17 6

5) scrivere l'equazione delle parabole con asse parallelo a y , passanti per i punti A(1; -3), B(-1; -1) e aventi per direttrice la retta di equazione y = - 7 2

Le parabole sono dunque del tipo y = a x² + b x + c ed occorre quindi un sistema di tre quazioni in tre incognite a, b, c.
Due condizioni sono quelle di passaggio per i punti dati e la terza è data dalla formula della direttrice, che come si sa è y = - 1 + Δ 4a che sviluppata diventa y = - 1 + b² - 4ac 4a vale a dire - 7 2 = - 1 + b² - 4ac 4a
che, ridotta a denominator comune e semplificata, diventa b² - 4ac - 14a + 1 = 0 questa è un'equazione di secondo grado nelle incognite a, b, c e da ciò discende il fatto che le parabole soluzione del problema sono due; d'altra parte, le altre due equazioni da mettere a sistema si trovano imponendo il passaggio per A e per B:

passaggio per A(1; -3)

- 3 = a + b + c e passaggio per B(-1; -1)

- 1 = a - b + c.

In definitiva si ottiene il sistema

b² - 4ac - 14a + 1 = 0
a + b + c = -3
a - b + c = -1

riscriviamo
il sistema
con la prima,
la terza e il
risultato
sottraendo
la terza
dalla seconda

b² - 4ac - 14a + 1 = 0
a - b + c = -1
b = -1

sostituiamo nella
prima e nella
seconda il
valore trovato per b

1 - 4ac - 14a + 1 = 0
a + 1 + c = -1
b = -1

ricaviamo c
dalla seconda

2 - 4ac - 14a = 0
c = -2 - a
b = -1

- 2ac - 7a + 1 = 0
c = -2 - a
b = -1

sostituendo nella
prima il valore
trovato per c

2a(2 + a) - 7a + 1 = 0
c = -2 - a
b = -1

si ottiene una
equazione di
secondo grado
in a

2a² - 3a + 1 = 0
c = -2 - a
b = -1

risolvendo
a₁ = 1 2
a₂ = 1

calcolando
il parametro c
otteniamo
2 soluzioni

a₁ = 1 2
b₁ = -1
c₁ = - 5 2

a₂ = 1
b₂ = - 1
c₂ = - 3

che corrispondono alle equazioni di parabola y = 1 2 x² - x - 5 2 e y = x² - x - 3

La geometria analitica della circonferenza nel piano cartesiano

Partiamo dalla seguente definizione

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto chiamato centro C(α; β)

Proviamo a disegnare una circonferenza in posizione generica nel piano cartesiano

Evidentemente si tratta di una circonferenza di raggio r e di centro C(α; β) con ascissa α e ordinata β; dove si è indicato con P(x; y) il generico punto della circonferenza.
Per la definizione data come luogo geometrico, è chiaro che l'equazione della circonferenza si trova imponendo che i punti del luogo geometrico chiamato circonferenza siano quelli e solo quelli distanti r dal centro, per cui si può scrivere

PC² = (x - α)² + (y - β)²

quindi

(x - α)² + (y - β)² = r²

vale a dire

x² + y² - 2αx - 2βy + α² + β² - r² = 0

che di norma si scrive

x² + y² + ax + by + c = 0

avendo posto

a = - 2 α | b = - 2 β | c = α² + β² - r²

Vediamo le equazioni incomplete della circonferenza.

1° CASO Circonferenza passante per l'origine Se passa per l'origine, significa che deve essere c = 0 quindi l'equazione è del tipo x² + y² + ax + by = 0 in questo caso risulta anche α² + β² = r²						2° CASO Circonferenza avente il centro sull'asse delle y In questo caso l'ascissa del centro è zero, α = 0, e quindi il coefficiente a = 0, cioè l'equazione è mancante del termine in x quindi l'equazione è del tipo x² + y² + b x + c = 0 se oltre ad avere il centro sull'asse delle y, passa anche per l'origine, allora diventa x² + y² + b x = 0

3° CASO Circonferenza avente il centro sull'asse delle ascisse In questo caso l'ordinata del centro è nulla e quindi b = 0 quindi l'equazione è del tipo x² + y² + ax + c = 0 in questo caso risulta anche α² - r² = c						4° CASO Circonferenza avente il centro nell'origine In questo caso l'ascissa e l'ordinata del centro sono zero, α = β = 0, e quindi i coefficienti a = b = 0, cioè l'equazione è mancante sia del termine in x che di quello in y; quindi l'equazione è del tipo x² + y² + c = 0 e quindi risulta c = - r² questo significa che c < 0

ESERCIZI sulla CIRCONFERENZA

1) trovata l'equazione della circonferenza passante per i punti A(2; 2), B(2; 8) e A(4; -4), scrivere quella del fascio avente come polo A(2; 2) e determinare le rette del fascio tangenti alla circonferenza

Data l'equazione generale di una circoinferenza x² + y² + a x + b y + c = 0, sostituendo le coordinate di A(2; 2) in essa, otteniamo la prima equazione da mettere a sistema; vale a dire 2a + 2b + c + 8 = 0; la seconda si ottiene sostituendo le coordinate di B(2; 8), quindi 2a + 8b + c + 68 = 0; infine la terza, sostituendo nell'equazione generale le coordinate di B(4; -4), otteniamo la terza equazione da mettere a sistema 4a - 4b + c + 32 = 0.
In definitiva possiamo scrivere

2a + 2b + c + 8 = 0
2a + 8b + c + 68 = 0
4a - 4b + c + 32 = 0

Sottraendo
dalla seconda
la prima, resta
6b + 60 = 0 cioè
b = - 10
da seconda la terza
-2a + 12b + 36 = 0

b = - 10
-2a + 12b + 36 = 0
2a + 2b + c + 8 = 0

In definitiva, per
successive
sostituzioni
si ha

a = - 21
b = - 10
c = 54

In definitiva si ottiene l'equazione x² + y² - 21 x - 10 y + 54 = 0

Evidentemente l'equazione del fascio proprio con polo in A(2; 2) è y = m (x - 2) + 2; quindi per trovare la retta tangente in A(2; 2) serve mettere a sistema il fascio con la circonferenza:

x² + y² - 21 x - 10 y + 54 = 0
y = m (x - 2) + 2

x² + [m (x - 2) + 2]² - 21 x - 10 · [m (x - 2) + 2] + 54 = 0
y = m (x - 2) + 2

(1 + m)² x² - (4m² + 6m + 21) x + (4m² + 12m + 38) = 0
y = m (x - 2) + 2

36 m² + 204 m + 289 = 0
y = m (x - 2) + 2

(6 m + 17)² = 0
y = m (x - 2) + 2

E quindi si ottiene la soluzione doppia m = - 17 6 sostituendo poi nell'equazione del fascio il valore trovato per il coefficiente angolare, si può calcolare anche l'ordinata all'origine, per cui alla fine si ha la retta di equazione y = - 17 6 x + 23 3 che è la retta tangente cercata.

2) trovata l'equazione della circonferenza passante per i punti A(-3; 3), B(3; 1) e F(1; -5), determinare l'equazione della retta ad essa tangente nel punto B. Successivamente, ricavata l'equazione della perpendicolare alla tangente passante per B, considerare il fascio proprio avente polo nel punto C(3; -3) appartenente alla circonferenza, e determinare come variano le coordinate di D in funzione del coefficiente angolare m della retta del fascio e ciò fatto, trovare la retta del fascio per la quale risulti BD = CD.

Passaggio per A

Sostituendo le coordinate di A nell'equazione generale x² + y² + a x + b y + c = 0, otteniamo - 3a + 3b + c + 18 = 0

Passaggio per B

Sostituendo le coordinate di B nell'equazione generale x² + y² + a x + b y + c = 0, otteniamo 3a + b + c + 10 = 0

Passaggio per F

Sostituendo le coordinate di F nell'equazione generale x² + y² + a x + b y + c = 0, otteniamo a - 5b + c + 26 = 0, vale a dire il sistema

3a - 3b - c - 18 = 0
3a + b + c + 10 = 0
a - 5b + c + 26 = 0

sottraendo dalla seconda
la prima, si ottiene
4b + 2c + 28 = 0;
semplificando e
risolvendo rispetto a c
c = - 2b -14

sottraendo dalla seconda
la terza, si ottiene
2a + 6b - 16 = 0;
semplificando e
risolvendo rispetto ad a
a = 8 - 3b

in definitiva
si ottiene
il seguente
sistema

c = -2b -14
a = 8 - 3b
3a + b + c + 10 = 0

che ammette la soluzione

a = 2
b = 2
c = -18

Quindi per la circonferenza si ottiene l'equazione x² + y² + 2 x + 2 y - 18 = 0

Il risultato si può ottenere anche applicando il metodo di Cramer con i determinanti

A questo punto scriviamo l'equazione del fascio proprio con polo in B(3; 1) che è evidentemente y = mx - 3m + 1 e mettiamola a sistema con quella della circonferenza per trovare la tangente (unica, come soluzione doppia, perchè il punto B appartiene alla circonferenza).

y = mx - 3m + 1
x² + y² + 2x + 2y - 18 = 0

Andando a sostituire nell'equazione della circonferenza alla variabile y l'espressione in x x² + (mx - 3m + 1)² + 2x + 2 (mx - 3m + 1) - 18 = 0 sviluppando, semplificando e raccogliendo si giunge all'equazione (1 + m²) x² - 2 (3m² - 2m - 1) x + (9m² - 12m - 15) = 0 di secondo grado in x della quale si deve trovare il discriminante ridotto Δ 4 e risolverlo uguagliandolo a zero Δ 4 = 0 (condizione di tangenza)
quindi
Δ 4 = (3m² - 2m - 1)² - (1 + m²) (9m² - 12m - 15) = 0

4m² + 16m + 16 = 0

m² + 4m + 4 = 0

m₁ = m₂ = - 2 (soluzione doppia) e quindi l'equazione della tangente per B è

y = - 2x + 6 + 1

y = -2x + 7 A questo punto si procede determinando l'equazione della retta perpendicolare a quella appena trovata e passante per B; evidentemente, essendo m = - 1 m' dove m' = - 2, risulta m = 1 2
e quindi otteniamo l'equazione del fascio improprio y = 1 2 x + n e, imponendo il passaggio per B, si ottiene l'equazione cercata per la perpendicolare 1 = 1 2 · 3 + n

n = - 1 2 e quindi

y = 1 2 x - 1 2 o anche in forma implicita 2 y - x + 1 = 0.
Non resta che trovare l'equazione del fascio proprio passante per C(3; -3); a questo proposito si ha y + 3 = m (x - 3)

y = mx - 3m - 3 (il fascio proprio per C(3; -3)).

Come detto, la condizione per selezionare e determinare come variano le coordinate di D in funzione del coefficiente angolare m della retta del fascio e ciò fatto, trovare la retta del fascio per la quale risulta

CD² = BD², dove, per la nota formula della distanza tra due punti del piano cartesiano, si ha CD² = (x_{_C} - x_{_D})² + (y_{_C} - y_{_D})² dove x_{_C} = 3 e y_{_C} = - 3;

mentre le coordinate di D si trovano incrociando la retta passante per D e perpendicolare alla tangente, cioè y_{_D} = 1 2 x_{_D} - 1 2 , e il fascio con polo in C e imponendo il passaggio per D; cioè y_{_D} = m x_{_D} - 3m - 3 e, uguagliando i secondi membri, possiamo calcolare l'ascissa in funzione di m del fascio; vale a dire 1 2 x_{_D} - 1 2 = m x_{_D} - 3m - 3 , da cui, attraverso alcuni passaggi semplificativi, ci possiamo ricavare

x_{_D} = - 6m + 5 1 - 2m a patto che m ≠ 1 2 e così da y_{_D} = m x_{_D} - 3m - 3 sostituendo a x_{_D} il valore trovato, si determina anche y_{_D}, cioè y_{_D} = - 2m + 3 1 - 2m e quindi le coordinate di D si possono esprimere in funzione di m come D (- 6m + 5 1 - 2m ;- 2m + 3 1 - 2m ).

Con ciò, tornando all'uguaglianza CD² = BD² cioè (x_{_C} - x_{_D})² + (y_{_C} - y_{_D})² = (x_{_B} - x_{_D})² + (y_{_B} - y_{_D})² e sostituendo i valori numerici noti per B e C, possiamo scrivere

(3 - x_{_D})² + (- 3 - y_{_D})² = (3 - x_{_D})² + (1 - y_{_D})²

(- 3 - y_{_D})² = (1 - y_{_D})² 9 + y_{_D}² + 6 y_{_D} = 1 + y_{_D}² - 2 y_{_D} - 8 y_{_D} = -8 y_{_D} = -1

e così da y_{_D} = m x_{_D} - 3m - 3 sostituendo il valore trovato per y_{_D} si può trovare quello di x_{_D}, ottenendo con semplici calcoli x_{_D} = - 1, per cui il punto D ha coordinate D(-1; -1).
Infine, sostituendo le coordinate di D nell'equzione del fascio, si trova il valore di m; con semplici calcoli si ottiene m = - 1 2 .

La geometria analitica dell'iperbole nel piano cartesiano

La definizione di iperbole come luogo geometrico è la seguente

L'iperbole è il luogo geometrico dei punti P(x; y) del piano per i quali la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi del piano chiamati fuochi F_₁, F2 è costante

Si considerano i due fuochi come appartenenti all'asse delle ascisse e disposti simmetricamente rispetto all'origine, come in figura a lato, e si ponga F_₁F_₂ = 2c
Inoltre per la scelta fatta, con il punto P posizionato nel primo quadrante, si può porre PF_₁ - PF_₂ = 2a, senza valore assoluto poichè PF_₁ > PF_₂

Per un noto teorema di geometria euclidea, secondo il quale

In un triangolo, nel caso in esame PF₁F₂, la differenza tra due lati è sempre più piccola del terzo lato

si può scrivere PF_₁ - PF_₂ = 2a < 2c da cui si ricava immediatamente a < c, ricordando che F_₁(-c; 0) e anche F_₂(c; 0)
Procediamo allora con la determinazione dell'equazione dell'iperbole, osservando che il procedimento sarebbe analogo anche se il punto P si trovasse collocato negli altri quadranti; si ha pertanto

PF_₁ - PF_₂ = 2a √(x + c)² + (y - 0)² - √(x - c)² + (y - 0)² = 2a √(x + c)² + y² = 2a + √(x - c)² + y²

elevando al quadrato

(x + c)² + y² = 4a² + (x - c)² + y² + 4a √(x - c)² + y² (x + c)² - (x - c)² - 4a² = 4a √(x - c)² + y²

e fattorizzando la differenza di quadrati a primo membro

4cx - 4a² = 4a √(x - c)² + y² cx - a² = a √(x - c)² + y² elevando ancora al quadrato per togliere la radice

c²x² + a⁴ - 2a²cx = a² [(x - c)² + y²] c²x² + a⁴ - 2a²cx = a² (x² + c² - 2cx + y²)

c²x² + a⁴ - 2a²cx = a²x² + a²c² - 2a²cx + a²y²

semplificando i termini simili e portando a primo membro i termini contenenti variabili e a secondo membro i termini noti

c²x² - a²x² - a²y² = a²c² - a⁴

raccogliendo a fattor comune sia a primo membro che a secondo (c² - a²) x² - a²y² = a² (c² - a²)

e, dal momento che (c² - a²) > 0, conviene porre b² = c² - a² ottenendo

b² x² - a²y² = a² b² e poichè a, b > 0, si può dividere tutto per a² b² ricavando l'equazione finale dell'iperbole

x² a² - y² b² = 1

A questo punto dall'equazione trovata ricaviamo la variabile d'ascissa x

x² = (1 + y² b² ) a² x² = a² b² (b² + y²) x = ± a b √b² + y² dunque l'ascissa del punto P appartenente all'iperbole non si azzera mai, e dalla condizione b² + y² > 0 si deduce che l'espessione assume valore minimo per y = 0 e quindi la funzione è definita per x ≤ -a e per x ≥ +a dove, come già sappiamo,

a < c e ricaviamo la variabile d'ordinata

- y² = (1 - x² a² ) b² y² = - (1 - x² a² ) b² y² = b² a² (x² - a²) y = ± b a √x² - a² data questa funzione (polidroma), vediamo se ammette asintoti, trovando il coefficiente angolare di eventuali asintoti con il limite per x → ±∞ di y x

m = lim x → ±∞ y x = ± b a · lim x → ±∞ √x² - a² x = ± b a sono quindi asintoti le due rette passanti per l'origine di equazione y = ± b a x

La situazione che si configura è quella visualizzata nella figura a lato, dove sono riportati i vari parametri dell'iperbole, compresi gli asintoti

Fermo restando che c > a e che b² = c² - a² , può accadere che a sia maggiore ma quasi uguale a b o che sia molto più grande; così quanto più grande è a rispetto a b, tanto più piccolo è l'angolo formato dagli asintoti con la direzione positiva dell'asse delle ascisse.
Se invece è b > a, la trattazione si svolge diversamente posizionando i fuochi simmetricamente all'origine, ma sull'asse delle ordinate.

Al contrario, se a = b, si ha un'iperbole equilatera e, poichè c² = a² + b², è facile vedere che c = b √2 = a √2 e gli asintoti formano tra loro un angolo di 90°.

Vediamo allora qual è e come si ricava l'equazione di una iperbole quando il parametro b è più grande di a.

A questo proposito si ricordi che i fuochi si posizionano sull'asse delle ordinate, in posizione simmetrica rispetto all'origine, quindi aventi coordinate

F_₁(0; -c), F_₂(0; c); la situazione è quella della figura a lato.

Ricordiamo quindi che la formula da sviluppare, dell'iperbole come luogo geometrico, è PF_₁ - PF_₂ = 2a,

mentre è sempre F_₁F_₂ = 2c.

Si ha pertanto

PF_₁ = √ (x - 0)² + (y + c)² = √ x² + (y + c)² ed anche PF_₂ = √ (x - 0)² + (y - c)² = √ x² + (y - c)²

e sostituendo si ha

√ x² + (y + c)² - √ x² + (y - c)² = 2a portando il secondo radicando a secondo membro ed elevando al quadrato

[√ x² + (y + c)²]² = [2a + √ x² + (y - c)²]² vale a dire, sviluppando i quadrati

x² + (y + c)² = 4a² + x² + (y - c)² + 4a √ x² + (y - c)²

y² + c² + 2cy = 4a² + y² + c² - 2cy + 4a √ x² + (y - c)²

4cy - 4a² = 4a √ x² + (y - c)² cy - a² = a √ x² + (y - c)²

ed elevando ancora al quadrato

c²y² + a⁴ - 2a²cy = a² [x² + (y - c)²] c²y² + a⁴ - 2a² cy = a² x² + a² y² + a² c² - 2 a² cy e spostando tutti i termini contenenti variabili a primo membro e i termini noti a secondo membro

c²y² - a² y² - a² x² = a² c² - a⁴ (c² - a²) y² - a² x² = a² (c² - a²) e ponendo b² = c² - a² b² y² - a² x² = a² b² e dividendo entrambi i membri per a² b² si ottiene

y² a² - x² b² = 1 x² b² - y² a² = - 1 avendo cambiato segno per uniformità di scrittura con il caso precedente dove era

a > b

Ricaviamo la funzione y e determiniamo il coefficiente angolare facendo lim x → ±∞ y x

x² b² - y² a² = - 1 - y² a² = - 1 - x² b² y² a² = b² + x² b² y² = a² b² · (b² + x²) y = ± a b · √b² + x²

e così si possono determinare gli asintoti

m = lim x → ±∞ y x = ± a b · lim x → ±∞ √x² + b² x = ± a b che sono evidentemente y = ± a b x

E così la situazione è quella schematizzata nel secondo grafico qui a sinistra, dove si vede chiaramente che b > a

E quindi, come detto, l'equazione dell'iperbole equilatera, con assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani è

x² - y² = a²

Un esempio nella figura a lato, dove si vede che b = a che c = √2 a = √2 b ; infatti il parametro c è posizionato sulle ascisse a 0,4142 unità dal parametro a proprio perchè

c - a = √2 a - a = a (√2 - 1) = = a (1, 4142... - 1) = a · 0,4142... dal momento che appunto √2 = 1,4142..., numero irrazionale universalmente noto, diagonale di un quadrato di lato unitario.

É poi evidente che gli asintoti sono le bisettrici dei quadranti.

C'è da dire che

l'equazione dell'iperbole equilatera può essere scritta anche scegliendo come riferimento quello dei suoi asintoti

cioè prendendo come assi coordinati i suoi asintoti, invece che farli coincidere con gli assi di simmetria dell'iperbole.

Per poter fare questo, occorre prima trovare le equazioni di trasformazione delle coordinate nel caso in cui il sistema di riferimento cartesiano subisca una trasformazione per rotazione di un qualunque angolo α.

Nella figura accanto viene riportata la panoramica relativa alla rotazione degli assi coordinati X,Y di un generico angolo α in senso antiorario nel nuovo riferimento x, y per cui risulta che il generico punto P, individuato in entrambi i riferimenti dalla distanza ρ dall'origine, dall'angolo β nel nuovo riferimento, e da α + β nel vecchio.

Nel nuovo sistema di riferimento le coordinate del punto P(x; y) in termini polari sono x = ρ cos β e
y = ρ sen β , mentre nel vecchio erano

X = ρ cos (α + β) e Y = ρ sen (α + β) e sviluppando con le formule relative alla somma degli angoli

X = ρ (cos α cos β - sen α sen β) = ρ cos β cos α - ρ sen β sen α
Y = ρ (sen α cos β + cos α sen β) = ρ cos β sen α + ρ sen β cos α

dove le parti in ciano sono le cordinate x, y nel nuovo sistema di riferimento, per cui si può scrivere

X = x cos α - y sen α
Y = x sen α + y cos α

Queste sono le formule da applicare se, note le coordinate x, y, nel sistema di riferimento dopo la rotazione, si vogliano calcolare quelle X, Y nel sistema di riferimento iniziale (prima della rotazione).
In realtà quelle che interessa determinare sono le coordinate finali, nel sistema di riferimento cartesiano dopo la rotazione; occorre cioè risolvere le due equazioni trovate rispetto a x, y.
Possiamo considerare il determinante R dei coefficienti, e quelli R_x e R_y per trovare con Cramer le incognite

R =

cos α - sen α
sen α + cos α

R_x =

X -sen α
Y cos α

R_y =

cos α X
sen α Y

E quindi si ha

R =

cos α - sen α
sen α + cos α

= cos² α + sen² α = 1

R_x =

X -sen α
Y cos α

= X cos α + Y sen α

R_y =

cos α X
sen α Y

= Y cos α - X sen α

E di conseguenza si ha:

x = R_x R = R_x 1 = X cos α + Y sen α

y = R_y R = R_y 1 = Y cos α - X sen α

A questo punto si è in grado di ricavare l'equazione dell'iperbole equilatera nel sistema di riferimento dei suoi asintoti.
Partendo dall'equazione trovata in precedenza nel sistema di riferimento individuato dagli assi di simmetria, equazione che è

x² - y² = a²
basta andare a sostituire alla variabili x, y le espressioni trovate per la rotazione, vale a dire

x = X cos α + Y sen α e y = Y cos α - X sen α,

considerando però che nel caso in esame dell'iperbole equilatera l'angolo di rotazione è uguale a 45°, così che le espressioni precedenti diventano

x = X cos 45° + Y sen 45° = √2 2 X + √2 2 Y = √2 2 (X + Y)
e
y = Y cos 45° - X sen 45° = √2 2 Y - √2 2 X = √2 2 (Y - X)

così da ottenere

(X cos 45° + Y sen 45°)² - (Y cos 45° - X sen 45°)² = a²

[ √2 2 (X + Y)]² - [ √2 2 (Y - X)]² = a² 1 2 (X + Y)]² - 1 2 (Y - X)² = a²

1 2 (X + Y + X - Y) (X + Y - X + Y) = a² 1 2 (2X) (2Y) = a² X Y = a² 2
Avendo applicato il prodotto notevole "differenza dei quadrati" (A² - B²) = (A + B) (A - B)

L'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti è solitamente indicata x y = k o anche y = k x

tipico esempio in fisica la Legge di Boyle dei gas perfetti che lega pressione e volume in condizioni isoterme

P V = k o anche P = k V

La geometria analitica dell'ellisse nel piano cartesiano

La definizione di ellisse come luogo geometrico è la seguente

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti P(x; y) del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi del piano chiamati fuochi F_₁, F_₂ è costante

Lo schema è quello della figura accanto, dove i fuochi, a distanza 2c tra di loro, sono stati collocati simmetricamente sull'asse delle ascisse rispetto all'origine.

Sulla base della definizione data, si ha evidentemente PF₁ + PF₂ = 2a; e andando a sostituire le formule per calcolare le distanze
√(x + c)² + y² + √(x - c)² + y² = 2a portando una radice a secondo membro ed elevando al quadrato

(x - c)² + y² = [2a - √(x + c)² + y²]² x² + c² - 2 cx + y² = 4a² + (x + c)² + y² - 4a √(x + c)² + y²

x² + c² - 2 cx = 4a² + x² + c² + 2 cx - 4a √(x + c)² + y² - 4 cx - 4a² = - 4a √(x + c)² + y²

semplifichiamo dividendo tutto per 4, cambiamo di segno ed eleviamo al quadrato (cx + a²)² = [a √(x + c)² + y²]²

c²x² + a⁴ + 2a²cx = a² [(x + c)² + y²] c²x² + a⁴ + 2a²cx = a² x² + a² c² + 2a²cx + a² y²

semplificando i termini simili e portando a primo membro i termini con le variabili e a secondo i termini noti

c²x² - a² x² - a² y² = a² c² - a⁴ e mettendo in evidenza i fattori comuni x² (c² - a²) - a² y² = a² (c² - a²).

Poichè nel caso dell'ellisse risulta a > c, conviene cambiare di segno, ottenendo x² (a² - c²) + a² y² = a² (a² - c²) e ponendo

b² = a² - c², risulta b²x² + a²y² = a²b² ed infine, dividendo tutto per a²b², si ha

x² a² + y² b² = 1

A questo punto risolviamo l'equazione rispetto alla variabile x:

x² a² = 1 - y² b² x² = a² b² (b² - y²) x = ± a b √b² - y² b² - y² ≥ 0 -b ≤ y ≤ b

e risolvendo rispetto a y si ottiene analogamente -a ≤ x ≤ a

Non ci resta che risolvere rispetto a y: y² b² = 1 - y² a² y² = b² a² (a² - x²) y = ± b a √a² - x² y(0) = ±b -b ≤ y ≤ +b

E da qui si vede che l'ellisse è tutta contenuta nel rettangolo individuato dalle rette

x = -a x = a y = -b y = b
Per la quale si può definire l'eccentricità e = c a
tale che 0 < e < 1 e poichè b² = a² - c²
cioè c² = a² - b² = a²(1 - b² a² )

c = a [1 - (b a )^²]½ e quindi

Da qui si vede che se b → 0 e → 1 cioè

l'ellisse risulta tanto più schiacciata sull'asse x, quanto più l'eccentricità si avvicina a 1

così b = a e = 0 e l'ellisse diventa una circonferenza.

Il problema della tangente all'ellisse in un suo punto P(x₀; y₀)

Si vuole ricavare l'equazione della tangente all'ellisse in un suo dato punto P(x₀; y₀). Data la formula dell'ellisse
x² a² + y² b² = 1, poichè il punto P(x₀; y₀) appartiene all'ellisse, deve risultare: x₀² a² + y₀² b² = 1 , sottraendo membro a membro, otteniamo
( x² a² - x₀² a² ) + ( y² b² - y₀² b² ) = 0 b² (x² - x₀²) + a² (y² - y₀²) = 0

d'altra parte il punto P deve anche appartenere alla retta tangente, quindi mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse con quella del fascio proprio con polo in P

b² (x² - x₀²) + a² (y² - y₀²) = 0
y - y₀ = m (x - x₀)

b² (x² - x₀²) + a² (y - y₀) (y + y₀) = 0
y - y₀ = m (x - x₀)

e sostituendo nella prima equazione a y - y₀ quanto dato dalla seconda, si ha

b² (x² - x₀²) + a² m (x - x₀) (y + y₀) = 0
y - y₀ = m (x - x₀)

ed essendo y + y₀ = m (x - x₀) + 2y₀ la prima equazione diventa

b² (x² - x₀²) + a² m² (x - x₀)² + 2 a² my₀ (x - x₀) = 0

Facciamo una sostituzione di variabile, ponendo t = x - x₀ ed osservando che x² - x₀² = t² + 2 x₀ t otteniamo

b² (t² + 2 x₀ t) + a² m² t² + 2 a² my₀ t = 0 togliendo le parentesi e raccogliendo per grado (b² + a² m²) t² + 2 (b² x₀ + a² m y₀) t = 0

equazione di secondo grado incompleta, della quale dobbiamo porre (condizione di tangenza) il discriminante ridotto uguale a zero; quindi

Δ 4 = (b² x₀ + a² m y₀)² = 0 soluzione doppia, da cui si ricava m = - b² x₀ a² y₀ e quindi l'equazione della retta tangente all'ellisse in P(x₀; y₀) è
y - y₀ = - b² x₀ a² y₀ (x - x₀) a² y₀ (y - y₀) = - b² x₀ (x - x₀) a² y₀ y - a² y₀² = - b² x₀ x + b² x₀²
a² y₀ y + b² x₀ x = a² y₀² + b² x₀² e poichè a² y₀² + b² x₀² = a² b² a² y₀ y + b² x₀ x = a² b² e dividendo per a² b²

si ottiene

x₀ x a² + y₀ y b² = 1 che è sempre la formula della tangente all'ellisse in un punto in funzione delle coordinate del punto, più facile da ricordare e chiamata

formula di sdoppiamento.

Qui a lato infine l'ellisse nel caso in cui i fuochi si trovino sull'asse delle ordinate, per il quale si ottiene, in modo analogo al caso già visto, l'equazione x² a² + y² b² = -1

*1) trovata l'equazione dell'ellisse passante per i punti M(1; √3 2 ), N( 3 2; √7 2)**, determinare l'equazione della retta tangente all'ellisse e passante per M.*

Scriviamo l'equazione dell'ellisse nella forma A x² + B y² = 1 e sostituendo le coordinate dei punti M, N otteniamo il sistema

A + 3 4 B = 1
9 4 A + 7 16 B = 1

ricaviamo A
dalla prima
equazione
e sostituiamola
nella seconda

A = 1 - 3 4 B = 1 4 B
9 4 · 1 4 B + 7 16 B = 1

A = 1 4 B
9 B + 7 B = 16

A = 1 4
B = 1

a = 2
b = 1

E quindi l'equazione dell'ellisse è x² 4 + y² = 1

Per trovare l'equazione della tangente nel punto M occorre applicare la formula di sdoppiamento cioè

b² x_{_M} x + a² y_{_M} y = a² b² dove M(x_{_M}; y_{_M}) così che risulta x + 4 √3 2 y = 4

e in forma implicita x + 2 √3 y - 4 = 0

2) Determinare l'equazione dell'ellisse di cui sono noti il fuoco F₁ (2 √2; 0) e l'eccentricità e = 2 √2 3 .
Una volta scritta l'equazione, determinare le rette tangenti all'ellisse, passanti per il punto P(3; 3).

Dall'ascissa del fuoco si evince che c = 2 √2; inoltre sapendo che l'eccentricità è e = c a = 2 √2 3, si calcola che a = 3, cosa che ci permette di determinare il semiasse b dal momento che
b² = a² - c² = (3)² - (2 √2)² = 1

b = 1 e quindi l'equazione dell'ellisse è x² + 9 y² = 9.

Scriviamo l'equazione del fascio di rette avente come polo il punto P(3; 3):

y - 3 = m (x - 3) e mettiamola a sistema con l'equazione dell'ellisse, con l'obiettivo di determinare un'equazione di secondo grado in x e, annullandone il Δ, trovare i coefficienti angolari delle tangenti; in realtà una tangente è già determinata dal momento che si tratta della retta x = 3 parallela all'asse delle ordinate. Ci si aspetta dunque una sola soluzione dal discriminante, quindi un'equazione di primo grado.

y = mx - 3m + 3
x² + 9 y² = 9

y = mx - 3m + 3
x² + 9 (mx - 3m + 3)² = 9

y = mx - 3m + 3
x² + 9 (m²x² + 9 m² + 9 - 6 m²x + 6 m x - 18 m) = 9

x² + 9m²x² + 81 m² + 81 - 54 m²x + 54 m x - 162 m = 9

(1 + 9m²) x² - 54m(m - 1) x + 81m² - 162m + 72 = 0

Δ 4 = [27m (m-1)]² - (1 + 9m²) (81m² - 162m + 72) = 0

729m² (m-1)² - (1 + 9m²) (81m² - 162m + 72) = 0

729m⁴ - 1458m³ + 729m² - 81m² + 162m - 72 - 729m⁴ + 1458m³ - 648m² = 0

162m - 72 = 0 9m - 4 = 0 m = 4 9
per cui l'equazione della tangente cercata è y = 4 9 x - 4 3 + 3 y = 4 9 x + 5 3

3) Determinare l'equazione dell'ellisse passante per il punto P(1; 1) e in esso tangente alla retta di coefficiente angolare - 1 2

L'equazione è del tipo b² x² + a² y² = a² b²; inoltre deve risultare tangente alla retta y - 1 = - 1 2 (x - 1) o anche scritta in forma implicita x + 2 y - 3 = 0; mettiamo a sistema

x + 2 y - 3 = 0
b² x² + a² y² = a² b²

x = 3 - 2 y
b² x² + a² y² = a² b²

b² (3 - 2 y)² + a² y² = a² b² a² y² + 4b² y² - 12b² y + 9 b² - a²b² = 0

(a² + 4b²) y² - 12b² y + b²(9 - a²) = 0

Per questa equazione di secondo grado in y occorre annullare il Discriminante per la condizione di tangenza, ottenendo

Δ 4 = 36b⁴ - b²(a² + 4b²) (9 - a²) = 0 36b² - (a² + 4b²) (9 - a²) = 0

36b² - (9 a² - a⁴ + 36 b² - 4 a² b²) = 0 36b² - 9 a² + a⁴ - 36 b² + 4 a² b² = 0 a² + 4b² - 9 = 0

equazione da mettere a sistema con quella che si ottiene sostituendo alle variabili x, y le coordinate di P(1; 1), cioè a² + b² = a²b²
>

	a² + 4b² - 9 = 0 a² + b² = a²b²			a² = 9 - 4b² a² + b² - a²b² = 0			a² = 9 - 4b² 9 - 4b² + b² - (9 - 4b²) b² = 0
	a² = 9 - 4b² 4b⁴ - 12 b² + 9 = 0			a² = 9 - 4b² t = b² 4t² - 12 t + 9 = 0			b² = 6 ±√6² - 4 · 9 4 = 3 2 a² = 3

E quindi l'ellisse ha equazione 3 x² + 2 y² = 3

4) Data l'ellisse di equazione 5 x² + 9 y² - 45 = 0 scrivere le equazioni delle due parabole aventi per direttrice l'asse delle y e per fuoco uno dei due fuochi dell'ellisse data.
Indicati, poi, con A, B, C, D i punti d'intersezione delle parabole con l'ellisse, calcolare il perimetro del rettangolo ABCD.

Dall'equazione 5 x² + 9 y² - 45 = 0 ricaviamo la forma canonica dell'ellisse, dividendo per 45: x² 9 + y² 5 = 1 da qui si deduce che si ha a = 3 e b = √5; così si può calcolare l'ascissa dei fuochi c² = a² - b² = 9 - 5 = 4
c = 2 e, dal momento che per i fuochi abbiamo F_p1 = F₁ (2; 0) per la parabola che volge la concavità verso destra, e
F_p2 = F₁ (-2; 0) per la parabola che volge la concavità verso sinistra; e ancora dal momento che la direttrice delle parabole coincide con l'asse delle ordinate, risulta subito che V_p1(1; 0) ed anche V_p2(-1; 0), le coordinate dei vertici delle due parabole.
Ora si sa che l'ascissa del vertice di una parabola ad asse orizzontale è data da - Δ 4a' se l'equazione è x = a' y² + b' y + c', d'altra parte poichè l'ordinata del vertice è data da - b' 2a' = 0, ne consegue che b' = b" = 0 (vale cioè per tutte e due le parabole).

In definitiva possiamo scrivere

parabola con concavità a destra

x = a'y² + b'y + c'

V_₁ (1; 0)

ordinata vertice - b' 2a' = 0

b' = 0 ascissa vertice

- Δ 4a' = 1

4 a' c' = 4a' (poichè b = 0) ne consegue che c' = 1; d'altronde l'equazione della direttrice
y = - 1 + Δ 4a' coincidente con l'asse delle ordinate y = 0 mi dice che - 1 + Δ 4a' = 0 4 a' c' = 1 a' = 1 4
e quindi l'equazione della prima parabola è x = 1 4 y² + 1 o in forma implicita y² - 4x + 4 = 0

parabola con concavità a sinistra

x = a"y² + b"y + c2

V_₂ (-1; 0)

ordinata vertice - b" 2a" = 0

b' = 0 ascissa vertice

- Δ 4a" = -1

4 a" c" = -4a"
(poichè b = 0) ne consegue che c" = -1; d'altronde l'equazione della direttrice y = - 1 + Δ 4a" coincidente con l'asse delle ordinate y = 0 mi dice che
- 1 + Δ 4a" = 0 4 a" c" = 1 a" = - 1 4 e quindi l'equazione della seconda parabola è x = - 1 4 y² - 1 o in forma implicita y² + 4x + 4 = 0

A questo punto mettiamo a sistema l'equazione di una parabola, ad esempio quella con concavità verso sinistra, con l'equazione dell'ellisse e troviamo i punti B, C d'intersezione

y² + 4x + 4 = 0
5 x² + 9 y² - 45 = 0

y² = - 4x - 4
5 x² + 9(- 4x - 4) - 45 = 0

y² = - 4x - 4
5 x² - 36x - 81 = 0

y² = - 4x - 4
x = 18 ± 27 5

y² = - 4x - 4
x_₁ = - 9 5 = x_{_B} = x_{_C} = -x_{_A} = - x_{_D} (per simmetria)
x_₂ = 9 Non accettabile perchè la parabola è definita solo per x ≤ - 1

Non resta che calcolare le ordinate, sapendo che y² = - 4x - 4 y² = - 4 (- 9 5) - 4 = 16 5 y = ± 4 5 √5 e quindi in definitiva i punti d'intersezione hanno le seguenti coordinate

A( 9 5; 4 5 √5) B(- 9 5; 4 5 √5) C(- 9 5; - 4 5 √5) D( 9 5; - 4 5 √5)

Per cui le misure dei lati sono AB = CD = √(x_{_A} - x_{_B})² + (y_{_A} - y_{_B})² = 18 5 mentre per gli altri due lati avremo AD = BC = |y_{_A} - y_{_D}| = |y_{_B} - y_{_C}| = 8 5 √5

e quindi il perimetro del rettangolo ABCD si calcola 2 AB + 2 BC = 2 · 18 5 + 2 · 8 5 √5 = 4 5 · (9 + 4 √5)

5) data l'ellisse di equazione x^² + 4 y^² - 12 = 0, si scriva l'equazione della parabola passante per i fuochi dell'ellisse e per il punto in cui la curva taglia il semiasse negativo delle ordinate.
Determinare le coordinate dei punti comuni alle due curve, scrivendo l'equazione di una delle circonferenze passanti per essi e per il punto P(0; 3), ricordando che non possono essere considerati punti simmetrici rispetto agli assi nell'imporre le condizioni di passaggio.

Portiamo a secondo membro il termine noto dell'equazione dell'ellisse e dividiamo per esso entrambi i membri x^² 12 + y^² 3 = 1
In tal modo si ottiene la forma canonica dell'equazione; così che da essa si deduce a^² = 12 a = 2 √3
b^² = 3 b = √3 c^² = a^² - b^² = 9 c = 3

Le coordinate dei fuochi dell'ellisse sono allora F_₁(-c; 0) = F_₁(-3; 0) ---- F_₂(c; 0) = F_₂(3; 0) che sono anche due punti di passaggio della parabola richiesta, per la quale il terzo punto è evidentemente V (0; -b) = V(0; -√3).

Con esse non possiamo comunque impostare il sistema per trovare i coefficienti a', b', c' dell'equazione della parabola perchè i fuochi sono in posizione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (stessa cosa se fosse l'asse delle ascisse) e quindi ne possiamo considerare solo una di equazione.

Di conseguenza il passaggio per punti ci fornisce due equazioni; giova però osservare che il punto V è il vertice della parabola, per il quale evidentemente si ha - b' 2a' = 0 b' = 0

Passaggio per F_₁(-3; 0) 0 = 9a' - 3b' + c' | Passaggio per F_₂(3; 0) 0 = 9a' + 3b' + c' | Passaggio per P(0; -√3) -√3 = c'

Ottenendo il sistema

b' = 0
9a' - 3b' + c' = 0
c' = -√3

di conseguenza,
per quanto detto
in precedenza

9a' - √3 = 0 a' = √3 9

e quindi l'equazione della parabola è y = √3 9 x^² - √3 o in forma implicita 9y - √3 x^² + 9 √3 = 0

Non resta che determinare l'equazione della circonferenza passante per F_₁(-3; 0), V(0; -√3) e P(0; 3) e allo scopo, scriviamo il sistema di 3 equazioni per determinare i paramentri A, B, C dell'equazione x^² + y^² + A x + B y + C = 0

Passaggio per F_₁(-3; 0) 9 + 0 - 3A + 0 + C = 0 3A - C = 9

Passaggio per V(0; -√3) 0 + 3 + 0 - B√3 + C = 0 B√3 - C = 3

Passaggio per P(0; 3) 0 + 9 + 0 + 3B + C = 0 3B + C = - 9

Sommando membro a membro la seconda e la terza, si ottiene 3B + B√3 = - 6 (3 + √3) B = - 6 B = - 6 3 + √3 = - 6 (3 - √3) 9 - 3 = √3 - 3

Con questo risultato dalla seconda o dalla terza si può determinare C; per esempio dalla seconda

(√3 - 3) √3 - C = 3 3 - 3 √3 - C = 3 C = - 3 √3 3A + 3 √3 = 9 A = 3 - √3

Di conseguenza l'equazione della circonferenza è x^² + y^² + (3 - √3) x - (3 - √3) y - 3 √3 = 0

La seconda circonferenza passerà invece per F_₂(3; 0) invece che per F_₁(-3; 0) e quindi si otterrà il sistema

3A + C = - 9
B√3 - C = 3
3B + C = - 9

e quindi cambia solo
il coefficiente A
che diventa

3A + C = - 9 A = √3 - 3

e quindi l'equazione della seconda circonferenza è x^² + y^² - (3 - √3) x - (3 - √3) y - 3 √3 = 0

Problemi geometrici con risoluzione di sistemi misti

Problema n° 1286 pag 399 di Geometria Analitica del Ferrauto
Dopo aver scritto l'equazione della parabola con asse parallelo a y, vertice nel punto V(1; 4) e tangente alla retta di equazione 2x + y - 7 = 0, si indichino con A il punto d'intersezione della curva con l'asse delle y; con B il punto di intersezione di ascissa positiva con l'asse delle x.
Determinare sul segmento di retta compreso nel primo quadrante un punto P(x; y) in modo che risulti PA² + PB² = k .

dai dati si ricava l'equazione della parabola y = -x² + 2x + 3; infatti dev'essere V (- b 2a; - Δ 4a) da cui si ricava - b 2a = 1, vale a dire b = -2a, e anche - Δ 4a = 4 4ac - b^² = 16a 4ac - 4a^² = 16a c - a = 4 c = 4 + a.
Per determinare l'equazione della parabola serve una terza condizione che è quella di tangenza con la retta data, e quindi occorre mettere a sistema l'equazione della parabola, cioè y = ax^² + bx + c y = ax^² - 2ax + 4 + a avendo fatto le dovute sostituzioni dei parametri b, c, in funzione di a, determinate precedentemente, con la retta data; per cui si ottiene

y = ax^² - 2ax + 4 + a
y = - 2x + 7

-2x + 7 = ax^² - 2ax + 4 + a ax^² - 2(a - 1) x + a - 3 = 0
Δ 4 = 0 (a - 1)^² - a (a - 3) = 0 a + 1 = 0 a = - 1

Di conseguenza si possono determinare i valori dei parametri b, c dell'equazione della parabola: b = -2a = 2 e anche
c = 4 + a = 4 - 1 = 3 e grazie a ciò si ottiene per la parabola y = -x² + 2x + 3.

Il problema chiede di determinare le condizioni perchè per i punti della retta data nel primo quadrante risulti PA^² + PB^² = k con
k ∈ R.
Scriviamo e calcoliamo le due distanze indicate nella formula parametrica in kappa:
PA^² = (x_{_P} - x_{_A})^² + (y_{_P} - y_{_A})^² = (x - 0)^² + (y - 3)^² = x^² + y^² - 6y + 9 e

PB^² = (x_{_P} - x_{_B})^² + (y_{_P} - y_{_B})^² = (x - 3)^² + (y - 0)^² = x^² - 6x + 9 + y^² e andando a sostituire

PA^² + PB^² = x^² + y^² - 6y + 9 + x^² - 6x + 9 + y^² = k 2x^² + 2y^² - 6x - 6y + 18 - k = 0 e dividendo tutto per due

x^² + y^² - 3x - 3y + 9 - k 2 = 0 che è l'equazione di una circonferenza di centro C ( 3 2; 3 2) e di raggio variabile in dipendenza del paramentro k e per la quale risulta

α^² + β^² - r^² = 9 - k 2 dove chiaramente α = 3 2 β = 3 2 così che r^² = k 2 - 9 2 k - 9 ≥ 0 k ≥ 9 questo affinchè il raggio sia un numero reale non negativo.

La situazione è quella illustrata nella figura accanto, dove A'B' è il segmento di retta del primo quadrante su cui si deve individuare il punto P(x; y), avendo evidentemente A'(0; 7) l'intersezione con l'asse y, e B'( 7 2; 0) l'intersezione con l'asse x.
Allora appare chiaro che le soluzioni, date da quei valori di k che soddisfano la relazione posta, si trovano cercando le intersezioni tra la retta, o meglio il segmento al primo quadrante, con la circonferenza a raggio variabile; dunque occorre metterle a sistema con alcune condizioni, che sono k ≥ 9 0 ≤ y ≤ 7 0 ≤ x ≤ 7 2;.
Di conseguenza si tratta di risolvere il sistema misto

2x^² + 2y^² - 6x - 6y + 18 - k = 0
2x + y - 7 = 0
k ≥ 9
0 ≤ x ≤ 7 2
0 ≤ y ≤ 7

Dal grafico a lato si vede che il raggio minimo della circonferenza, a cui risulta tangente alla retta, è r_{_min} = CH = |a_{_r}x_{_C} + b_{_r}y_{_C} + c_{_r}| √a_{_r} + b_{_r} dove evidentemente a_{_r} = 2 b_{_r} = 1 c_{_r} = -7 che sono i parametri della retta e x_{_C} = y_{_C} = 3 2 sono le coordinate del centro C della circonferenza.
Di conseguenza, facendo le necessarie sostituzioni e calcoli, si ha r_{_min} = |a_{_r}x_{_C} + b_{_r}y_{_C} + c_{_r}| √a_{_r} + b_{_r} = √5 2 e poichè r^²_{_min} = k 2 - 9 2 cioè 5 4 = = k 2 - 9 2 risulta k = 23 2 quindi per questo valore di k si hanno 2 radici reali coincidenti (tangenza); invece per valori inferiori del raggio circonferenza e retta non si toccano, cioè il sistema delle loro equazioni non ha soluzioni reali (!). Al crescere del raggio le soluzioni sono sempre due, reali e distinte, finchè il raggio non cresca tanto che la circonferenza passi per il punto B'( 7 2; 0) valore limite superiore perchè le soluzioni siano sempre due; a cui corrisponde il raggio di circonferenza

r^² = (x_{_C} - x_{_B'})^² + (y_{_C} - y_{_B'})^² = ( 3 2 - 7 2)^² + ( 3 2 - 0)^² = 25 4 da cui r^² = k 2 - 9 2 25 4 = k 2 - 9 2 k = 43 2 quindi, per valori superiori di k si ha una sola soluzione reale (ed una complessa, inammissibile) finchè, ultimo atto, la circonferenza, aumentando il raggio, non passi per A'(0; 7): questo è il valore limite superiore al di là del quale circonferenza e segmento di retta non hanno più punti d'intersezione!
Questo si ha quando il raggio della circonferenza assume il valore r^²_{_max} = (x_{_C} - x_{_A'})^² + (y_{_C} - y_{_A'})^² = ( 3 2 - 0)^² + ( 3 2 - 7)^² = 65 2 e quindi r^²_{_max} = k 2 - 9 2 k = 74
Riassumendo dunque si ha

23 2 ≤ k ≤ 43 2 due soluzione reali (coincidenti per k = 23 2)
43 2 < k ≤ 74 una sola soluzione reale

Confronto della radice di un'equazione parametrica di primo grado con uno o più numeri reali dati

Supponiamo di avere un'equazione parametrica di primo grado, ad esempio (a+2) x + (a-4) = 0, per la quale evidentemente la radice (o zero) è x_₀ = 4-a a+2 (essendo ovviamente funzione del parametro a ) e chiediamoci, dato un numero reale α, in che relazione esso sia con la radice (zero) x_₀ dell'equazione data, nel senso di essere maggiore o minore; quali sono cioè le condizioni perchè risulti α > x_₀ o, che è lo stesso, α < x_₀.
Intanto notiamo che associata all'equazione data, c'è la funzione lineare f(x): y = (a+2) x + (a-4) che nel piano cartesiano si rappresenta con una retta di coefficiente angolare (a+2) e ordinata all'origine (a-4) e di conseguenza l'angolo formato dalla retta con il semiasse positivo delle ascisse è minore di 90° se il coefficiente angolare
a+2 > 0 e, data come detto un'ascissa α, calcoliamo per essa il valore della funzione, che indicheremo come f (α).

Dall'analisi della situazione risulta

	a + 2 > 0 f (α) > 0	oppure		a + 2 < 0 f (α) < 0	cioè sono concordi o tutti e due positivi o tutti e due negativi	allora risulta	α > x_₀
	a + 2 > 0 f (α) < 0	oppure		a + 2 < 0 f (α) > 0	cioè sono discordi	allora risulta	α < x_₀

Se allora si fa lo studio del segno del coefficiente angolare e di f (α) in funzione del parametro a e si mettono in un unico diagramma, si può stabilire quando sono concordi e quando discordi per a ∈ R, avendo così un quadro completo, così da poter confrontare, se maggiore o minore, un numero reale qualunque assegnato con la radice (zero) dell'equazione.
Nel nostro caso, dato il numero reale α con cui confrontare lo zero dell'equazione, si ha

A = a + 2 > 0 ∀a > -2 ed anche f (α): (a+2) α + (a - 4) > 0 ∀a > 4-2α 1+α

E così se vogliamo confrontare la radice x_₀ con una serie α = -2, β = 1, γ = 3, δ = 7 di numeri reali dati determiniamo il segno della f (x) per x ∈ {α, β, γ, δ} in funzione di a e grafichiamolo assieme a quello del coefficiente del termine di primo grado (sempre in funzione di a)

f (α) = f (-2) = (a+2)(-2) + (a-4) > 0 - 2a - 4 + a - 4 > 0 a < - 8

f (β) = f (1) = (a+2) + (a-4) > 0 2a - 2 > 0 a > 1
f (γ) = f (3) = 3(a+2) + (a-4) > 0 3a + 6 + a - 4 > 0 a > 1 2
f (δ) = f (7) = 7(a+2) + (a-4) > 0 7a + 14 + a - 4 > 0 a > - 5 4

E se riportiamo tutto in un grafico per studiare concordanza o discordanza dei segni, si ha

E così dal grafico è facile vedere come si dispongono rispetto allo zero (radice) dell'equazione i diversi valori d'ascissa considetati

A < 0	∀a < - 8	a < x_₀ < β < γ < δ
	a = - 8	x_₀ = α < β < γ < δ
	-8 < a < -2	x_₀ < α < β < γ < δ

A = 0	a = - 2	radice → +∞

A > 0	- 2 < a < - 5 4	α < β < γ < δ < x_₀
	a = - 5 4	α < β < γ < δ = x_₀
	- 5 4 < a < 1 2	α < β < γ < x_₀ < δ
	a = 1 2	α < β < γ = x_₀ < δ
	1 2 < a < 1	α < β < x_₀ < γ < δ
	a = 1	α < β = x_₀ < γ < δ
	a > 1	α < x_₀ < β < γ < δ

Confronto delle radici di un'equazione parametrica di secondo grado con uno o più numeri reali dati

Per risolvere il confronto si farà ricorso a quanto detto nel caso di equazione parametrica di primo grado, cioè determinazione del segno del primo coefficiente, indicato con A e del valore assunto dalla funzione associata all'equazione alle ascisse date.
Questo però non è sufficiente in questo caso, e quindi occorrerà studiare la condizione di realtà delle radici, ricavabili studiando il segno del discriminante Δ.
Occorrerà sempre vedere se la funzione calcolata nell'ascissa o ascisse date è concorde o discorde col primo coefficiente dell'equazione che in questo caso corrisponde ad una parabola.
Infatti se per ipotesi (nei grafici i due casi)

Δ > 0
A > 0
f (α) > 0

oppure

Δ > 0
A < 0
f (α) < 0

le radici sono
reali e distinte
A e f (α)
sono concordi

esiste una ambiguità di
posizione di α rispetto
alle radici x_₁, x_₂ dal
momento che α può
essere minore/maggiore
delle due radici, cadendo
l'ascissa α esternamente
ad esse

È chiaro che per risolvere l'ambiguità occorre introdurre un altro controllo da fare.
Questo si realizza considerando la media aritmetica delle due radici x_₁, x_₂ dell'equazione, media indicata con la lettera greca maiuscola sigma Σ = x_₁ + x_₂ 2 e studiando e graficando il segno dell'espressione Σ - α.
Infatti se A e f (α) sono concordi, fonte di ambiguità, mentre Σ - α > 0, allora significa che è Σ > α, e da ciò inevitabilmente consegue che α < x_₁ < x_₂
Al contrario, sempre se A e f (α) sono concordi, ma risulta Σ - α < 0, ne consegue che x_₁ < x_₂ < α
Tutto questo aiuta a risolvere i problemi di geometria analitica e non, riconducibili ad equazioni parametriche e sistemi misti

Problema n° 1287 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Con riferimento ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O

1) scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo alle y, passante per l'origine e per il punto A(3; 3), e tangente in esso alla retta di coefficiente angolare 4.
2) Per un punto P dell'arco di parabola OA, condurre la parallela all'asse y, indicando con Q il punto che tale retta ha in comune con la corda OA e, sempre per il punto P, condurre la parallela alla retta OA, indicando con S il punto in cui questa seconda parallela incontra l'asse y.
3) Determinare l'ascissa dei punti P e Q in modo che sia 2p il perimetro del parallelogramma OQPS.

Se la parabola passa per l'origine, il termine noto è c = 0; quindi l'equazione è del tipo y = ax² + bx; e dal momento che passa anche per A(3; 3), sostituendo nell'equazione le coordinate di A, si ottiene 3 = 9a + 3b cioè b = 1 - 3a.
E quindi l'equazione della parabola si può scrivere come y = ax² + (1 - 3a)x.
Scrivo l'equazione del fascio proprio passante per il punto A: y - 3 = m(x - 3) y = mx - 3m + 3, quindi determino l'equazione della retta del fascio con m = 4, che risulta tangente alla parabola nel punto A y = 4x - 12 + 3 y = 4x - 9 e considero il sistema

y = 4x - 9
y = ax² + (1 - 3a)x

uguaglio i secondi
membri, ottenendo
un'equazione di
2° grado

ax² + (1 - 3a)x = 4x - 9

che ordinata è

y = ax² - 3 (1 + a) x + 9 = 0

E pongo la condizione di tangenza, Δ = 0 per determinare il valore corrispondente del coefficiente del termine di secondo grado della parabola

Δ = 9 (1 + a)² - 36a = 0 (1 + a)² - 4a = 0 a² - 2a + 1 = 0 a = 1

Dunque la parabola ha equazione y = x² - 2x, passa per A(3; 3), passa per l'origine O(0; 0) ed ha vertice V (1; -1), come è facile verificare, ricordando che V ( - b 2a; - Δ 4a).

Fatto questo, sappiamo che dev'essere 2 OS + 2 OQ = 2p OS + OQ = p

Occorre quindi determinare OS che è un segmento verticale, quindi la lunghezza è data dalla differenza in valore assoluto delle ordinate degli estremi OS = QP = y_{_Q} - y_{_P} = x - y dove x e y sono le coordinate (variabili) di P, dal momento che il punto Q appartiene alla bisettrice del 1° quadrante e quindi ha ordinata uguale ad ascissa (come il punto A).

Inoltre è agevole vedere che OQ = √x² + x² = √2x² = x √2 proprio perchè Q (x; x), cioè ascissa e ordinata uguali, appartenendo alla bisettrice del 1° quadrante e dal momento che la sua ascissa è uguale a quella del punto P.

In definitiva dev'essere x - y + x √2 = p con 0 ≤ x ≤ 3 ed anche 0 ≤ y ≤ 3 oltre che p ≥ 0, quest'ultima condizione raggiunta quando P → O; ricordando che deve sempre essere y = x² - 2x perchè il punto P appartiene alla parabola.

Occorre dunque risolvere il sistema misto

y = x (1 + √2) - p
y = x² - 2x
0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ y ≤ 3
p ≥ 0

o anche

x (1 + √2) - p = x² - 2x
0 ≤ x ≤ 3
p ≥ 0

x² - (3 + √2) x + p = 0
0 ≤ x ≤ 3
p ≥ 0

dal momento che
y = x

Ovviamente la funzione ora è f(x) = x² - (3 + √2) x + p
Procediamo quindi studiando i vari segni

Δ = (3 + √2)² - 4p > 0 - 4p > - (3 + √2)² p < 11 + 6 √2 4

f (0) = p > 0

Σ = 1 2 · (x_₁ + x_₂) = 1 2 · ( 3 + √2 + √Δ 2 + 3 + √2 - √Δ 2) = 3 + √2 2 Σ - 0 = 3 + √2 2 - 0 > 0 sempre verificata!

f (3) = 9 - 9 - 3 √2 + p > 0 p > 3 √2

Σ - 3 = 3 + √2 2 - 3 > 0 Σ - 3 = √2 - 3 2 > 0 mai verificata!!

Abbiamo dunque il seguente prospetto

Leggiamo ed interpretiamo i dati dello schema...

Dunque le radici sono reali per p ≤ 11 + 6 √2 4 inoltre f (0) e A = 1 > 0 sono concordi e infine Σ - 0 > 0 quindi sicuramente 0 < x_₁ < x_₂; d'altra parte la concordanza (entrambi negativi) tra f (3) < 0 e Σ - 3 < 0 porta a concludere che 0 < x_₁ < 3 < x_₂ per 0 ≤ p < 3 √2 cioè UNA SOLA SOLUZIONE

è facile vedere che per p = 3 √2 si ha 0 < x_₁ < x_₂ = 3 e che anche nell'intervallo 3 √2 < p ≤ 11 + 6 √ 2 4 si hanno DUE SOLUZIONI

Il tutto ovviamente nell'intervallo d'ascissa 0 ≤ x ≤ 3

Il Problema si può risolvere anche graficamente, osservando che basta studiare le intersezioni tra il fascio improprio y = (1 + √2) x - p e l'arco di parabola definito da y = x² - 2 x con 0 ≤ x ≤ 3.

Disegnata la retta di equazione y = (1 + √2) x per p = 0, questa ha con il ramo OA di parabola un solo punto in comune (l'origine del sistema di assi cartesiani). Quindi per p = 0 si ha UNA SOLA SOLUZIONE.
E questo vale anche all'aumentare di p, fino a quando il paramentro p non assuma il valore tale che la parallela alla retta r, passante per A e F, ammette due intersezioni e quindi ci sono DUE SOLUZIONI.
In corrispondenza, passando per A, il valore di p è 3 = (1 + √2) · 3 - p p = 3 √2.

Al crescere di p le intersezioni sono sempre due e quindi anche le soluzioni, finchè non si realizza la condizione di tangenza (Δ = 0) nel punto K, dove le soluzioni sono ancora due, ma coincidenti.

Il valore di p alla tangenza si trova imponendo l'annullamento del discriminante dell'equazione di secondo grado che si ottiene dal sistema

y = (1 + √2) x - p
y = x² - 2 x

(1 + √2) x - p = x² - 2 x x² - (3 + √2) x + p = 0 Δ = (3 + √2)² - 4p = 0 p = 11 + 6 √2 4

Riassumendo dunque abbiamo

0 ≤ p < 3 √2 UNA SOLUZIONE

3 √2 ≤ p ≤ 11 + 6 √2 4 DUE SOLUZIONI

Per p > 11 + 6 √ 2 4 NESSUNA SOLUZIONE in quanto retta e parabola non hanno punti in comune, o matematicamente le soluzioni del sistema non sono reali

Problema n° 1288 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Con riferimento ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O

1) Disegnare il grafico della parabola con asse parallelo alle y, di equazione y = x² + 2 x + 1, indicando con A il punto di ascissa nulla della curva e scivere l'equazione della retta t, tangente alla curva in A.
2) Condurre da A la retta t' perpendicolare a t e scrivere l'equazione della parabola tangente all'asse x e alla t' in A.
3) Dopo aver indicato con B e C i punti di ordinata nulla delle due rette t e t', determinare sul segmento BC il punto P in modo che , indicate con H e I le proiezioni di P sulla t e t', sia di 425 k il rapporto tra l'area del rettangolo PHAI e quella del triangolo ABC

La parabola y = x² + 2 x + 1 interseca l'asse delle ordinate nel punto A(0; 1) ed è tangente all'asse delle x nel punto V (-1; 0); punto che risulta essere anche il suo vertice.
L'equazione del fascio proprio passante per A è y = mx + 1.
Metto a sistema l'equazione del fascio e parabola, ed impongo la condizione di tangenza Δ = 0

y = x² + 2 x + 1
y = mx + 1

x² + 2 x + 1 = mx + 1

x² + (2 - m) x = 0

Δ = (2 - m)² = 0 m = 2 (soluzione doppia)

Dunque la tangente t alla parabola in A è allora y = 2x + 1 e, di conseguenza, il coefficiente angolare della perpendicolare a t è - 1 2 e se passante per A l'equazione della retta t' è y = - 1 2 x + 1

Per il quesito n° 2), si ha la seguente situazione

Infatti la parabola da cercare al punto 2) passa per A e quindi il termine noto della sua equazione è c = 1 quindi si può porre y = ax² + b x + 1

Si sa inoltre che la parabola in questione è tangente alla retta y = - 1 2 x + 1 e quindi si può mettere a sistema ed imporre condizione di tangenza

y = ax² + b x + 1
y = - 1 2 x + 1

ax² + b x + 1 = - 1 2 x + 1 ax² + (b + 1 2 ) x = 0 2ax² + (2b + 1) x = 0 Δ = (2b + 1)² = 0 b = - 1 2 e quindi si può scrivere per l'equazione cercata

y = ax² - 1 2 x + 1 infine, mettendo a sistema e imponendo la tangenza con l'asse delle x, si può determinare il valore del coefficiente del termine di secondo grado a

y = ax² - 1 2 x + 1
y = 0

ax² - 1 2 x + 1 = 0 2 ax² - x + 2 = 0 Δ = 0 1 - 16a = 0 a = 1 16

E quindi per la parabola si ottiene l'equazione y = 1 16 x² - 1 2 x + 1 che oltre, come volevasi, a passare per A (0; 1) ha vertice V'(4; 0).

Ai fini del problema, interessano anche i punti B intersezione tra la retta t e l'asse delle ascisse e il punto C interezione tra la retta t' e sempre l'asse delle ascisse; per determinane le coordinate basterà mettere a sistema le equazioni relative

y = 2x + 1
y = 0

2x + 1 = 0 x = - 1 2 B ( - 1 2 ; 0)

e per il punto C

y = - 1 2 x + 1
y = 0

- 1 2 x + 1 = 0 x = 2 C (2; 0)

Ora, facendo riferimento alla figura di seguito, si vuole che il rapporto tra l'area del rettangolo PHAI e quella del triangolo ABC sia 4 25 k

Intanto il triangolo ABC è fisso e se ne può calcolare l'area: basterà calcolare la lunghezza della base

BC = |x_{_B} - x_{_C}| = | - 1 2 - 2 | = 5 2

e quella dell'altezza che è uguale all'ordinata di A(0; 1): AO = 1 quindi l'area è Area(ABC) = BC · AO 2 = 5 4
Di conseguenza l'area del rettangolo, espressa in funzione del parametro kappa, sarà

Area(PHAI) = Area(ABC) · 4 25 k = 5 4 · 4 25 k = k 5

Per calcolare l'area di PHAI occorre conoscere i lati PI e PH, dal momento che dev'essere PI · PH = k 5
Osserviamo che

PC = 2 - x e che BC = 2 + 1 2 = 5 2

mentre

AB² = (x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² = ( 0 + 1 2 )² + ( 1 - 0 )² = 5 4 AB = √5 2

Di conseguenza, applicando la similitudine ai triangoli ABC e PIC si può scrivere PI : AB = PC : BC PI : √5 2 = (2 - x) : 5 2 PI = √5 5 ( 2 - x) inoltre

BH = AB - PI = √5 2 - √5 5 ( 2 - x) = √5 5 ( x + 1 2 ) e PB = x + 1 2 e quindi si ha PH : AC = BH : AB PH : √5 = √5 5 (x + 1 2 ) : √5 2 PH = 2 √5 5 (x + 1 2 ) = √5 5 (2x +1)

In definitiva si ha Area (PHAI) = PI · PH = √5 5 ( 2 - x) · √5 5 (2x +1) = 1 5 k (2 - x) (2x + 1) = k 2 x² - 3 x + (k - 2) = 0
E quindi occorre discutere il seguente sistema misto per determinare i valori del paramentro k che ammettono soluzioni

2 x² - 3 x + (k - 2) = 0
- 1 2 ≤ x ≤ 2
k ≥ 0

Intanto osserviamo che A = 2, sempre positivo; poi Δ = 9 - 8 (k - 2) > 0 25 - 8 k > 0 k < 25 8

f (- 1 2 ) = 1 2 + 3 2 + k - 2 > 0 k > 0
Σ + 1 2 = 3 4 + 1 2 = 5 4 SEMPRE!

f (2) = 8 - 6 + k - 2 > 0 k > 0
Σ - 2 = 3 4 - 2 = - 5 4 MAI!

Si ha dunque il seguente schema riassuntivo

Da cui si evince che ci sono sempre 2 soluzioni reali e distinte nell'intervallo
0 ≤ k ≤ 25 8
Infatti la concordanza di segno positivo di f ( - 1 2 ) > 0 e di Σ + 1 2 > 0 ci dice che sicuramente
- 1 2 < x_₁ < x_₂ mentre la discordanza di segno di f ( 2) > 0 e di Σ - 2 < 0 ci assicura che x_₁ < x_₂ < 2 per cui complessivamente risulta

- 1 2 < x_₁ < x_₂ < 2 per 0 ≤ k ≤ 25 8

Problema n° 1289 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

L'equazione di una curva è del tipo y = a x² +b x + c.
Determinare i coefficienti a, b, c in modo che la curva passi per i punti A (0; 8), B (2; 0), C (4; 0).
Indicato con E il punto di minore ascissa in cui la curva è tagliata dalla retta y = 3 x, si conduca per E la tangente alla curva, fino ad incontrare in M ed N gli assi cartesiani.
Determinare sul segmento MN un punto P in modo che sia verificata la relazione PA² + PB² + PC² = k.

L'equazione della curva, trattasi evidentemente di una parabola, si determina imponendo il passaggio per i tre punti dati, così da avere un sistema di tre equazioni in tre incognite, precisamente

c = 8
4a + 2b + c = 0
16a + 4b + c = 0

c = 8
4a + 2b + 8 = 0
12a + 2b = 0

c = 8
4a + 2b + 8 = 0
8a - 8 = 0

c = 8
a = 1
4a + 2b + 8 = 0

c = 8
a = 1
b = - 6

Di conseguenza l'equazione della parabola è y = x² - 6 x + 8

Troviamo le coordinate del punto E, mettendo a sistema la retta y = 3x con la parabola

y = 3x
y = x² - 6 x + 8

x² - 6 x + 8 = 3x

x² - 9 x + 8 = 0

x_{_{1, 2}} = 9 ± √ (9)² - 4 · 8 2 = 9 ± 7 2

x_₁ = 8
x_₂ = 1

Dove la radice x_₁ = 8 è da scartare, perchè non rientra nel ramo AC di parabola; quindi si ha
x_{_E} = x_₂ = 1; mentre l'ordinata del punto E si calcola sostituendo l'ascissa nell'equazione y = 3x,
ottenendosi y_{_E} = 3

Determiniamo ora l'equazione della tangente alla parabola passante per il punto E, iniziando con lo scrivere l'equazione del fascio proprio con polo in E

y - 3 = m (x - 1) y = m x + (3 - m) quindi mettiamo a sistema e imponiamo la condizione di tangenza (Δ = 0)

y = x² - 6 x + 8
y = m x + (3 - m)

x² - 6 x + 8 = m x + (3 - m) x² - (6 + m) x + (5 + m) = 0 Δ = 0
(6 + m)² - 4 (5 + m) = 0 m² + 8 m + 16 = 0 m = - 4 soluzione doppia!

E quindi per la tangente si ottiene l'equazione y = - 4x + 7

Mettendo a sistema con gli assi cartesiani, si determinano i punti M, N

y = - 4 x + 7
y = 0

- 4 x + 7 = 0 x = 7 4 N ( 7 4 ; 0)

y = - 4 x + 7
x = 0

y = 7 M (0; 7)

Fatto questo, troviamo l'equazione che deriva dalla relazione fondamentale del problema, cominciando a determinare i quadrati dei tre segmenti aventi tutti estremità comune in P

PA² = (x_{_P} - x_{_A})² + (y_{_P} - y_{_A})² = (x - 0)² + (y - 8)² = x² + y² - 16 y + 64
PB² = (x_{_P} - x_{_B})² + (y_{_P} - y_{_B})² = (x - 2)² + y² = x² + y² - 4 x + 4
PC² = (x_{_P} - x_{_C})² + (y_{_P} - y_{_C})² = (x - 4)² + y² = x² + y² - 8 x + 16
E quindi si ottiene

PA² + PB² + PC² = x² + y² - 16 y + 64 + x² + y² - 4 x + 4 + x² + y² - 8 x + 16 = 3 x² + 3 y² - 12 x - 16 y + 84

3 x² + 3 y² - 12 x - 16 y + 84 - k = 0

che è l'equazione parametrica di una circonferenza a raggio ovviamente variabile e della quale determiniamo il centro Q, iniziando a dividere tutto per 3

x² + y² - 4 x - 16 3 y + 28 - k 3 = 0

Dall'equazione evidentemente si deduce che il centro è Q (2; 8 3 ), dal momento che, detto Q(α; β) il centro della circonferenza con le sue coordinate, sappiamo che deve essere -2 α = -4, il coefficiente del termine di 1° grado in x; e -2 β = - 16 3 , il coefficiente del termine di 1° grado in y; e quindi si ha α = 2 e β = 8 3 .

Quindi una circonferenza di centro Q e raggio variabile; e la soluzione del problema si determina risolvendo il sistema misto

x² + y² - 4 x - 16 3 y + 28 - k 3 = 0
y = 7 - 4x 0 ≤ x ≤ 7 4
0 ≤ y ≤ 7 k > 0

Data dunque la retta di equazione y = 7 - 4x e la circonferenza x² + y² - 4 x - 16 3 y + 28 - k 3 = 0 a raggio variabile in dipendenza del parametro k, occorre ricavare per quali valori di k esse si intersecano e se le intersezioni sono due o solo una.
Evidentemente la soluzione si determina graficamente, in base al grafico a lato, notando che ovviamente le situazioni sono di tre tipi

nessuna intersezione
una intersezione
due intersezioni

Osservando il grafico, si deduce immediatamente che per r < r_{_min} non esistono intersezioni, la circonferenza ha un raggio troppo piccolo e le due curve non si toccano.
Per il generico raggio r ≥ r_{_min} le intersezioni sono due a patto che r ∈ [r_{_min}, r'] cioè per r_{_min} ≤ r ≤ r' dove r' è il raggio corrispondente alla circonferenza passante per il punto N ( 7 4 ; 0), estremo inferiore del segmento MN
Invece si avrà una sola intersezione per r' < r ≤ r_{_max}; detto diversamente se r ∈ (r', r_{_max}] , intervallo aperto a sinistra.

Calcoliamo il valore di r_{_min} che corrisponde alla distanza del centro Q dalla retta 4x + y -7 = 0 (scritta in forma implicita), avendosi quindi
r_{_min} = QH = |4x_{_Q} + y_{_Q} -7| √ 4² + 1² = 1 + 8 3 √ 17 = 11 3 √ 17
Il termine noto dell'equazione di un circonferenza, solitamente indicato con c, notoriamente è dato da c = α² + β² - r² dove con alfa e beta si indicano le coordinate del centro della circonferenza, che nella fattispecie sono α = 2 e β = 8 3 ; d'altra parte nel nostro caso si ha anche c = 28 - k 3 e quindi si può scrivere α² + β² - r² = 28 - k 3 4 + 64 9 - r² = 28 - k 3 r² = 3k - 152 9 così, sostituendo ad r il valore r_{_min} calcolato in precedenza, si ottiene il valore minimo di k a cui si hanno le prime due soluzioni reali (coincidenti: retta e circonferenza tangenti)

9 r²_min = 3 k_min - 152 k_min = 9 r²_min + 152 3 k_min = 9 · 121 153 + 152 3 = 2705 51 (tangenza, soluzione doppia)

Da questo valore di k e fino a quando non si ha r = r', corrispondente ad una circonferenza passante per N ( 7 4 ; 0) sull'asse delle x, le soluzioni sono sempre due, reali e distinte.
Dal grafico si vede che (r')² = QN² = (2 - 7 4 )² + (0 - 8 3 )² ( 1 4 )² + ( 8 3 )² 1 16 + 64 9 = 1033 144 3 k' = 9 (r')² + 152 3 k' = 9 · 1033 144 + 152 3 k' = 1033 16 + 152
3 k' = 3465 16 k' = 3465 48 k' = 1155 16
Per finire, calcoliamo r_{_max} a cui corrisponde k_{_max} il valore massimo di k che ammette soluzioni/intersezioni.

Dal grafico si vede che (r_{_max})² = MQ² = (x_{_M} - x_{_Q})² + (y_{_M} - y_{_Q})² = (0 - 2)² + (7 - 8 3 )² = 205 9 9 r²_{_max} = 3 k_{_max} - 152 9 · 205 9 + 152 = 3 k_{_max} k_{_max} = 119

In definitiva possiamo redarre il seguente specchietto conclusivo

k < 2705 51 Nessuna soluzione

2705 51 ≤ k ≤ 1155 16 Due soluzioni

1155 16 < k ≤ 119 Una soluzione

k > 119 Nessuna soluzione

Problema n° 1290 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Scritta l'equazione della parabola con asse parallelo a quello delle y, con vertice V (1; 2) e passante per M (-1; 0), si consideri il punto A ( 3 2 ; 3) del piano cartesiano, e si conducano per esso le due tangenti, indicando con B e C i due punti di contatto.
Determinare sull'arco BC della parabola un punto P in modo che sia k la somma delle sue distanze dagli assi cartesiani (cioè la somma delle sue coordinate!).

Posta l'equazione della parabola nella forma generale y = a x² + b x + c, dalle coordinate del vertice rispettivamente si ricava x_V = - b 2a cioè b = - 2a · x_V b = - 2a e y_V = - Δ 4a
Δ = - 8 a b² - 4 ac = - 8 a 4 a² - 4 ac = - 8 a a - c = - 2 c = 2 + a
Passando per M si ha inoltre a - b + c = 0 a + 2a + 2 + a = 0 4a + 2 = 0 a = - 1 2 e quindi c = 2 - 1 2 = 3 2 b = 1.
Di conseguenza l'equazione della parabola è y = - 1 2 x² + x + 3 2
Troviamo l'equazione del fascio passante per A y - 3 = m (x - 3 2 ) y = m (x - 3 2 ) + 3 e mettiamola a sistema con la parabola per trovare le tangenti

y = m (x - 3 2 ) + 3
y = - 1 2 x² + x + 3 2

- 1 2 x² + x + 3 2 = m (x - 3 2 ) + 3 x² + 2 (m - 1) x - 3 (m - 1) = 0

Δ 4 = (m - 1)² + 3 (m - 1) = 0 m² + m - 2 = 0
Pertanto per le tangenti alla parabola e passanti per A, si hanno le equazioni

y = - 2x + 6
y = x + 3 2

A questo punto determiniamo le coordinate dei punti di tangenza delle due rette con la parabola

y = - 2x + 6
y = - 1 2 x² + x + 3 2

- 1 2 x² + x + 3 2 = - 2x + 6 1 2 x² - 3 x + 9 2 = 0 x² - 6 x + 9 = 0 x = 3 C(3; 0)

y = x + 3 2
y = - 1 2 x² + x + 3 2

- 1 2 x² + x + 3 2 = x + 3 2 1 2 x² = 0 x = 0 B (0; 3 2 )

E quindi si ottiene il sistema misto con limitazioni sulle ascisse ed ordinate

x + y = k
y = - 1 2 x² + x + 3 2
0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ y ≤ 2 k > 0

o anche, poichè le limitazioni
sull'ordinata restano determinate
da quelle sull'ascissa

y = - x + k
y = - 1 2 x² + x + 3 2
0 ≤ x ≤ 3 k > 0

dove l'equazione y = - x + k è quella
di un fascio improprio che comprende
la direttrice del secondo quadrante.
E uguagliando i secondi membri
delle equazioni

- 1 2 x² + x + 3 2 = - x + k

0 ≤ x ≤ 3 k > 0

x² - 4 x + (2k - 3) = 0

0 ≤ x ≤ 3 k > 0

Procediamo allora con la risoluzione per via grafico-analitica del sistema misto, notando anzitutto che il coefficiente del termine di secondo grado ` sempre A > 0 essendo uguale ad 1.
Studiamo il segno del discriminante Δ 4 = 4 - 2k + 3 > 0 k < 7 2 ; determiniamo la media aritmetica, indicata con Σ, delle radici dell'equazione; dove esse sono x_₁ = 2 - √Δ e x_₂ = 2 + √Δ , così che la media è
Σ = x_₁ + x_₂ 2 = 2 - √Δ + 2 + √Δ 2 = 2
determiniamo il segno della funzione f(x) = x² - 4 x + (2k - 3) al variare di k, agli estremi dell'intervallo, corrispondenti al punto

B (0; 3 2 ) f(0) > 0 2k - 3 > 0 k > 3 2 con Σ - 0 > 0 2 > 0 (Vero Sempre!)
e al punto

C (3; 0) f(3) = 9 - 12 + 2 k - 3 > 0 k > 3 con Σ - 3 > 0 -1 > 0 (Mai Vero!)

mettiamo dunque in un grafico lo studio dei vari segni, ottenendo quanto riportato qui a sinistra.
Il discriminante è positivo in tutto l'intervallo che ci interessa, corrispondente a 3 2 ≤ k ≤ 7 2 a cui corrisponde un'ascissa compresa in 0 ≤ x ≤ 3, e indichiamo gli estremi dell'intervallo di variabilità delle ascisse, relativamente all'arco di parabola BC, con α = 0, β = 3

Per valori di k < 3 2 , A > 0 e f (α) < 0 sono discordi, il che significa che α è in mezzo alle radici x_₁, x_₂ , cioè risulta
∀k < 3 2 x_₁ < 0 < x_₂; in altri termini x_₁ cade fuori, a sinistra, dall'intervallo d'ascissa [α, β] corrispondente all'arco di parabola

.
D'altra parte, risultando A > 0 e f (β) < 0, anch'essi discordi, anche β è interno all'intervallo delle radici; quindi complessivamente si ha

∀k < 3 2 x_₁ < α < β < x_₂

Nessuna Soluzione

Per k = 3 2 x_₁ = α < x_₂ < β per questo valore di k si ha Una sola soluzione, x_₁= α.
Consideriamo ora la situazione in cui si ha 3 2 < k < 3; poichè A > 0 e f(α) > 0 (sono concordi) quindi α esterna alle radici; ma, dato che Σ - α > 0, α è più piccola delle radici: α < x_₁ < x_₂.
Al contrario, risultando A > 0 e f (β) < 0, discordi, β è interna alle radici, cioè risulta complessivamente α < x_₁ < β < x_₂ (ancora Una soluzione).

Per k = 3 le soluzioni sono due α < x_₁ < x_₂ = β ( Due soluzioni)

Le soluzioni sono due anche per 3 < k < 7 2 , come è facile vedere, poichè a A > 0, f(α) > 0, Σ - α > 0, Σ - α > 0 α < x_₁ e a
A > 0, f(α) < 0, x_₂ < β cioè complessivamente α < x_₁ < x_₂ < β ( Due soluzioni)

Infine per k = 7 2 le soluzioni sono due e coincidenti α < x_₁ = x_₂ < β ( Due soluzioni)

Ovviamente il problema si poteva risolvere anche graficamente; viene agevole farlo guardando il grafico e la cosa è lasciata al lettore, bastando valutare le intersezioni tra le rette del fascio improprio y = - x + k e l'arco

di parabola.

Problema n° 1291 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Con riferimento ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O
1) Scrivere l'equazione della parabola passante per C (0; 4) e tangente in B (2; 0) all'asse delle ascisse.
2) Scrivere l'equazione della retta g normale in C alla parabola e indicare con A il punto in cui la suddetta perpendicolare taglia l'asse delle x.
3) Determinare sull'arco di parabola il punto P(x; y) e sul segmento AC il punto Q in modo tale che i due punti abbiano la stessa ordinata e che, indicate con P' e Q' le proiezioni di P e Q sull'asse delle ascisse, sia 2p il perimetro del rettangolo PP'Q'Q.

Evidentemente il punto B di tangenza della parabola con l'asse delle ascisse è il vertice della curva, per cui detta y = a x² + b x + c la sua equazione, possiamo scrivere

- b 2a = x_{_B} = 2 b = - 4a
- Δ 4a = y = 0 b² - 4ac = 0 16a² - 4ac = 0 4a - c = 0 c = 4a
c = 4 (passaggio per C)

b = - 4a
c = 4a
c = 4

a = 1
b = - 4
c = 4

E quindi l'equazione della parabola è y = x² - 4x + 4.
Scriviamo l'equazione del fascio proprio con polo in C(0; 4): y = m x + 4 e mettiamo a sistema con l'equazione della parabola per trovare la tangente alla parabola in C

y = x² - 4x + 4
y = m x + 4

x² - 4x + 4 = m x + 4 x² - (4 + m)x = 0 Δ = (4 + m)² = 0 m = - 4 y = -4x + 4 la tangente alla parabola in C

Mentre la retta ad essa perpendicolare e passante per C ha coefficiente angolare m' = 1 4 e stessa ordinata all'origine, quindi la sua equazione è y = 1 4 x + 4.
Mettendo a sistema l'equazione di quest'ultima retta con quella dell'asse delle ascisse, y = 0, si ricava l'ascissa del punto A d'intersezione con l'asse: 1 4 x + 4 = 0 x = -16 quindi C (-16; 0).

A questo punto scriviamo la relazione fondamentale relativa al perimetro del rettangolo, variabile, PP'Q'Q; evidentemente deve essere

2 PQ + 2 PP' = 2p PQ + PP' = p dove PP' = y (ordinata di P) inoltre deve essere y_{_Q} = y = 1 4 x_{_Q} + 4 da cui si ricava x_{_Q} = 4 (y - 4) per cui la relazione fondamentale si scrive

PQ + PP' = x - 4(y - 4) + y = p che opportunamente elaborata diventa x - 3y + 16 = p e quindi si può scrivere il seguente sistema misto

x - 3y + 16 - k = 0
y = x² - 4x + 4
0 ≤ x ≤ 2 k ≥ 0
0 ≤ y ≤ 4 avendo sostituito al parametro
p il parametro k, tipico delle
equazioni parametriche; e
sostituendo la y nella prima
equazione x - 3 (x² - 4x + 4) + 16 - k = 0
0 ≤ x ≤ 2
k ≥ 0 - 3 x² + 13x + 4 - k = 0
0 ≤ x ≤ 2 k ≥ 0 e cambiando
di segno 3 x² - 13x + k - 4 = 0
0 ≤ x ≤ 2 k ≥ 0

Procediamo ora allo studio del segno dei vari indicatori da inserire nel grafico per trovare le soluzioni al variare di k e indicando con α = 0 e con β = 2 gli estremi dell' intervallo d'ascissa che ci interessa, ma prima calcolando la media aritmetica Σ delle radici dell'equazione di secondo grado del sistema misto, sapendo che Σ = x_₁ + x_₁ 2 = 13 - √Δ + 13 + √Δ 12 = 13 6

A > 0 (sempre)

Δ = 169 - 12(k - 4) > 0 217 + 12 k > 0 k < 217 12

f(α) = k - 4 > 0 k > 4

Σ - α = 13 6 - 0 > 0 (sempre)

f(β) = k - 18 > 0 k > 18

Σ - β = 13 6 - 2 > 0 1 6 (sempre)

A questo punto si è in grado di costruire il diagramma di confronto dei segni dei vari indicatori e discuterlo

Notiamo che il primo coefficiente dell'equazione è A > 0 e fino a k < 217 12 il discriminante è positivo e quindi le radici sono reali e distinte: e poichè f(α) < 0 e f(β) < 0 per k < 4, risulta che α, β sono interni all'intervallo delle radici, cioè si ha

∀k < 4: x_₁ < α < β < x_₂ Nessuna soluzione

mentre per k = 4 risulta f(α) = 0, quimdi α è radice

k = 4: x_₁ = α < β < x_₂ Una soluzione

Per ∀k tale che 4 < k < 18 risulta

α < x_₁ < β < x_₂ Una soluzione

dal momento che α esterna sinistra alle radici ( A > 0, α > 0, concordi, e Σ - α > 0); mentre β interna alle radici (poichè A > 0, β < 0, discordi)

A questo punto dovrebbe esser chiaro che per k = 18 la situazione attesa è α < x_₁ = β < x_₂ Una soluzione e per 18 < k < 217 12 si ha: α < β < x_₁ < x_₂ Nessuna soluzione
Infine, per k > 217 12 Non ci sono più soluzioni reali

Il problema si può risolvere anche facendo riferimento al grafico della retta g e del ramo di parabola

; infatti la retta passante per i punti A, C fa parte di un fascio improprio di equazione x - 3y + 16 - k = 0 e le soluzioni del problema sono date dai valori di k che corrispondono alle rette che tagliano il ramo

.
È chiaro che sono le rette del fascio che hanno come limite quella passante per C da una parte, e quella passante per B dall'altra.
Dato quindi il fascio x - 3y + 16 - k = 0, i valori di k corrispondenti a queste rette, si trovano sostituendo nell'equazione del fascio improprio le coordinate dei punti suddetti, quindi si ha

Passaggio per C(0; 4): -12 + 16 - k = 0 k = 4
Passaggio per B(2; 0): 2 + 16 - k = 0 k = 18

Quindi il risultato è che per questi valori di k e per tutti quelli compresi tra essi, cioè ∀k tale che 4 ≤ k ≤ 18, il problema ammette Una soluzione

Problema n° 785 pag 351 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Sopra ad una semicirconferenza di diametro AB = 2r determinare un punto E in modo che, indicata con D la sua proiezione sul diametro AB, risulti la relazione fondamentale del problema

2 ED + AD = kr

Con riferimento al grafico della semicirconferenza a lato, poniamo AD = x e ED = y dove ovviamente
0 ≤ x ≤ 2r con k ≥ 0 perchè le misure di segmenti sono numeri reali non negativi
Andando a sostituire nella relazione fondamentale, si ha 2y + x = kr; d'altra parte, ricordando l'equazione generale di una circonferenza, x² + y² + ax + by + c = 0, nel caso in esame risulta che il centro della circonferenza è C (r; 0) e quindi deve essere a = -2r, b = 0; di conseguenza, dato che c = α² + β² - r², dove α, β sono le coordinate del centro, si ha
c = r² + 0 - r² = 0 (il termine noto dell'equazione).
In definitiva l'equazione della circonferenza è x² + y² - 2rx = 0 con le limitazioni 0 ≤ x ≤ 2r e k ≥ 0 e y ≥ 0
mentre l'equazione del fascio improprio di rette in forma esplicita è y = - 1 2 x + k 2 r y = - 1 2 (x - kr).
Il problema si può risolvere graficamente, osservando che si tratta di studiare le intersezioni del fascio improprio con la semicirdonferenza al variare di k.

Iniziamo a calcolare i valori di k in corrispondenza delle semirette (si ricordi che vale la limitazione y ≥ 0, quindi di semirette si tratta) del fascio improprio che intersecano la semicirconferenza, facendo riferimento al grafico sottoriportato
La prima intersezione con la semicirconferenza si ha in A (0; 0); il corrispondente valore di k si calcola andando a sostituire le coordinate del punto intersezione nell'equazione del fascio
y = - 1 2 (x - kr), tenendo conto che a questo valore di k corrisponde una sola soluzione; evidentemente si ha 0 = - 1 2 (0 - kr) → k = 0 e l'equazione della retta corrispondente è y = - 1 2 x.
La situazione rimane invariata, cioè la soluzione resta sempre una, fino a quando k non assume il valore che corrisponde alla semiretta passante per B.
Imponendo il passaggio per il punto B (2r; 0), si ricava il valore di k a cui cominciano a corrispondere semirette che hanno due intersezioni, quindi ci sono due soluzioni, con la semicirconferenza
0 = - 1 2 (2r - kr) → k = 2 e l'equazione della retta corrispondente è y = - 1 2 x + r.
Le soluzioni restano due fino al valore di k corrispondente alla tangente alla circonferenza; per determinare il valore di k e l'equazione della tangente, occorre imporre l'azzeramento del discriminante dell'equazione che si ottiene mettendo a sistema quelle di retta e semicirconferenza

y = - 1 2 (x - kr)
x² + y² - 2rx = 0

→ x² + y² - 2rx = - 1 2 (x - kr) → x² + [- 1 2 (x - kr)]² - 2rx = 0 → 5x² - 2r(k + 4)x + k²r² = 0 → Δ 4 = 0 → r²(k + 4)² + k²r² = 0 →

r² - 2k - 4 = 0 → k = 1 + √5 a cui corrisponde la semiretta di equazione y = - 1 2 x + 1 + √5 2 r

In definitiva abbiamo

0 ≤ k < 2 → 1 Soluzione!

2 ≤ k ≤ (1 + √5) → 2 Soluzioni!

Il problema si può risolvere anche con il metodo dello studio e confronto dei segni.
Dal grafico della semicirconferenza si deduce di primo acchito che la limitazione sulle ascisse è 0 ≤ x ≤ 2r; a questo proposito però si osservi che l'ordinata deve essere sempre non negativa, quindi, considerando l'equazione del fascio improprio y = - 1 2 (x - kr) e poichè dev'essere y ≥ 0, ne consegue che - 1 2 (x - kr) ≥ 0 x - kr ≤ 0 x ≤ kr che è la limitazione da considerare per l'ascissa, più e che contiene quella ovvia x ≤ 2r proprio per rimarcare il fatto che si considera per il fascio improprio solo le semirette di ordinata positiva.

Sostituendo alla y nell'equazione della circonferenza l'espressione della y data dall'equazione del fascio improprio, si ha

x² + [- 1 2 (x - kr)]² - 2rx = 0 x² + 1 4 (x - kr)² - 2rx = 0 4x² + (x - kr)² - 8rx = 0 5x² - 2krx + k²r² - 8rx = 0 5x² - 2r(k + 4)x + k²r² = 0

E quindi si ottiene il sistema misto

5x² - 2r(k + 4)x + k²r² = 0
0 ≤ x ≤ kr k ≥ 0

Procediamo alla determinazione dei segni per i vari parametri del grafico risolutivo

A = 5 > 0 il coefficiente del termine di 2° grado è smpre positivo

Δ 4 = r²(k + 4)² - 5k²r² > 0 r²(k² + 8k + 16) - 5k²r² ≥ 0 - 4k² + 8k + 16 ≥ 0
k² - 2k - 4 ≤ 0 k ≤ 1 + √5

f (0) > 0 k ≥ 0

Σ = x_₁ + x_₂ 2 = r (k + 4) 5

Σ - 0 ≥ 0 k ≥ - 4 (sempre verificata, perchè k ≥ 0)

f(kr) ≥ 0 5(kr)² - 2r · (k + 4) · kr + k² r² 5k²r² - 2kr²(k + 4) + k²r² ≥ 0 k² - 2k ≥ 0

(k ≤ 0) U (k ≥ 2)

Σ - kr ≥ 0 r (k + 4) 5 - kr ≥ 0 1 - k ≥ 0 k ≤ 1

Con questo quadro, vediamo di trarre le conclusioni

Con A > 0 e f(0) > 0, cioè concordi, l'ascissa x = 0 è esterna all'intervallo delle radici [x_₁, x_₂]; per risolvere l'incertezza (esterna sinistra o esterna destra), osserviamo che Σ - 0 ≥ 0 k ≥ 0 il che significa che è esterna sinistra (perchè evidentemente 0 < Σ), cioè 0 < x_₁ < x_₂

Con A > 0 e f(kr) < 0, cioè discordi, l'ascissa x = kr è interna, senza ambiguità, all'intervallo delle radici per 0 ≤ k < 2 e allora da tutto ciò ne consegue che 0 < x_₁ < 2r < x_₂ (notare che per k = 2, kr = 2r); si ha quindi UNA SOLUZIONE!

Per k = 2 è facile vedere che 0 < x_₁ < x_₂ = 2r quindi DUE SOLUZIONI!, una ordinaria e un'altra limite

Per k > 2, f(kr) > 0 e quindi kr esterna (sinistra o destra?); risolve il dubbio (Σ - kr) < 0 cio6egrave; kr esterna destra e quindi x_₂ < kr; per cui complessivamente risulta 0 < x_₁ < x_₂ < kr, quindi DUE SOLUZIONI! ordinarie

Infine per k = 1 + √5 una soluzione doppia, DUE SOLUZIONI COINCIDENTI!

Problema n° 776 pag 350 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Sia AB il diametro di una semicirconferenza di centro O e raggio r.
Determinare, rispettivamente su OA e su OB due punti C e D in modo tale che sia OC = 2 OD e che, indicati con E e F i punti in cui le perpendicolari in C e in D al diametro incontrano la semicirconferenza, sia verificata la relazione

**_CE² + _DF² _CD² = k**

Attribuendo l'incognita ad OD = x, risulta OC = 2x

È poi il caso di osservare che i triangoli ABE e ABF sono rettangoli in E e F e che CE e DF sono le altezze relative alla base (ipotenusa) comune AB.
Si può dunque applicare ad entrambe le altezze il secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

Quindi abbiamo

AD : DF = DF : BD DF² = AD · BD DF² = (r + x) · (r - x) = r² - x²

AC : CE = CE : BC CE² = AC · BC CE² = (r - 2x) · (r + 2x) = r² - 4x²

D'altra parte CD = 3x per cui la relazione fondamentale si può scrivere CE² + DF² = k CD² r² - 4x² + r² - x² = 9kx² (9k + 5)x² - 2r² = 0

Intanto la variabile x non può assumeri il valore zero che annullerebbe il denominatore della relazione fondamentale; osserviamo poi che OC_{_max} = r e quindi il valore massimo di OD che è anche il valore massimo che può assumere x è r 2 e quindi, si ha per la variabile x: 0 < x ≤ r 2 , mentre deve essere k > 0
Si tratta dunque di risolvere il sistema misto

(9k + 5)x² - 2r² = 0
0 < x ≤ r 2 k > 0

Δ = 8(9k + 5) r² ≥ 0 k > 0 (Non potendo essere negativo!)
A > 0 9k + 5 > 0 k > 0 (Non potendo essere negativo!)

f(0) = -2r² < 0 f( r 2 ) = (9k + 5) 4 r² - 2r² ≥ 0 9k - 3 ≥ 0 k ≥ 1 3 (Notare che Σ = 0) Σ - r 2 = 0 - r 2 < 0
E quindi con i dati raccolti abbiamo lo schema riassuntivo qui accanto; vediamone la discussione
Dal momento che A > 0 ∀k > 0 e visto che f(0) < 0 (discordi), allora è x_₁ < 0; d'altra parte anche f( r 2 ) < 0 ∀k < 1 3 quindi anch'essi discordi, per cui anche r 2 risulta interna alle radici, cioè r 2 < x_₂ ; cioè complessivamente risulta x_₁ < 0 < r 2 < x_₂ ∀k < 1 3 quindi Nessuna soluzione! perchè nell'intervallo di variabilità dell'ascissa [0, r 2 ] non cade nessuna delle due radici.
Per k = 1 3 l'equazione diventa 8x² - 2 r² = 0 4x² - r² = 0 x_₁ = ± r 2 e quindi si ha la seguente situazione
x_₁ = - r 2 < 0 < x_₂ = r 2 UNA soluzione coincidente con l'estremo superione dell'intervallo d'ascissa.
Per k > 1 3 A > 0 f( r 2 ) > 0 (concordi) e quindi, esterna sinistra/destra; e poichè Σ - r 2 < 0 risulta che è esterna destra, quindi
x_₂ < r 2 per cui la situazione complessiva è x_₁ < 0 < x_₂ < r 2 UNA Soluzione

Problema n° 775 pag 350 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Con vertice nel centro O di una semicirconferenza di diametro AB = 2r considerare un angolo retto in modo che, indicati con C e D i punti in cui i lati dell'angolo incontrano la semicirdonferenza, sia 2kr il perimetro del quadrilatero convesso ABDC

La situazione che si configura è quella illustrata a lato, dove il perimetro in oggetto è evidenziato con tratto arancione.
Appare subito chiaro che il problema presenta una certa simmetria, per cui si può analizzare in forma ridotta allla metà e considerare che ad ogni soluzione trovata ne corrisponderà una simmetrica.
In realtà per risolverlo, basterà esaminare come varia il parametro k al variare del segmento OH assunto come variabile, osservando che il suddetto segmento assumerà un valore estremante quando i punti D, B e H coincideranno, per rotazione dell'angolo retto intorno al centro O.
La situazione che si genera quando B, D, H coincidono è illustrata nel grafico successivo, dove si vede che il quadrilatero convesso è degenerato a triangolo isoscele.
In queste condizioni si tratta di calcolare il perimetro del triangolo isoscele dato da

AB + 2AC = 2kr 2r + 2r√2 = 2kr k = 1 + √2

Adesso immaginiamo che la rotazione attorno al punto O, che ha portato D e H a coincidere con B e K con O, si inverta, divenendo da oraria, antioraria, fino a raggiungere la configurazione della terza figura.

In questa nuova disposizione, evidentemente risulta

AB + AC + CD + DB = 2kr AB + 2 AC + CD = 2kr

dal momento che DB = AC, dove AB = 2r e CD = r √2 (è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti uguali a r).

Inoltre risulta AC = √ AK² + CK² = DB AK² = [r - r 2 √2]² = [ 1 2 (2 - √2)]² = r² 2 (3 - 2√2) dal momento che per ottenere AK bisogna sottrarre da AO = r, KO = r √2 = √2 2 r infatti KO è il cateto di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa vale r e giova notare che del detto triangolo l'altro cateto è CK = √2 2 r; di conseguenza con un rapido calcolo si trova che AC = r√2 - √2.
Andiamo dunque a sostituire tutto quanto determinato in

AB + AC + CD + DB = AB + 2 AC + CD = 2kr 2r + 2r√2 - √2 + r √2 = 2kr 2 + 2√2 - √2 + √2 = 2k

da cui risulta k = 2 + √2 + 2√2 - √2 2 .
Tirando le somme, dobbiamo immaginare che in un cronografico della rotazione dell'angolo retto con vertice in O la posizione di partenza sia quella in cui OH = r, corrispondente alla configurazione a triangolo ABC, a cui corrisponde
k = 1 + √2; successivamente, con una rotazione antioraria di 45°, l'insieme si porta nella configurazione, ad alta simmetria, a trapezio isoscele a cui corrisponde k = 2 + √2 + 2√2 - √2 2 che è il valore massimo raggiunto dal parametro k.
La successiva rotazione antioraria di risulta 45° è specularmente simmetrica alla prima e porta il punto C a coincidere con il punto A, facendo assumere al parametro k gli stessi valori precedenti in senso inverso, fino al minimo di k = 1 + √2

Quindi si può dire che il problema ammette per 1 + √2 ≤ k ≤ 2 + √2 + 2√2 - √2 2 DUE Soluzioni Simmetriche!

Problema n° 133 pag 418 del Bergamini, Barozzi, Trifone - Equazioni, disequazioni e Geometria analitica ecc. - Zanichelli (edizione del 2007)

In una circonferenza di diametro AB condurre la retta tangente in A.
Determinare un punto P sulla circonferenza in modo che, dette M ed N le sue proiezioni ortogonali sul diametro e sulla tangente rispettivamente, risulti

3NP + 2MP = kr k ∈ R

Il problema ammette evidentemente simmetria rispetto all'asse delle ascisse, per cui le soluzioni saranno cercate nel semipiano delle ordinate non negative e poi estese al resto del piano, semplicemente raddoppiandole.
Le incognite x, y del problema sono le coordinate del punto P, cioè esattamente x = NP e y = MP; e le possiamo inserire nella relazione fondamentale del problema

3x + 2y = kr y = - 3 2 x + k 2 r

Immaginiamo una situazione iniziale in cui risulti A M P N; in queste condizioni si ha x = y = k = 0; successivamente il punto P comincia a muoversi, separandosi da A, M, N, sulla semicirconferenza nel semipiano positivo; quando P K (per così dire allo zenith) ed M O, si ha x = MP = y = NP = r k = 5 (sostituendo nella relazione fondamentale).
Percorrendo l'altro quarto di circonferenza del semipiano positivo, P va a coincidere con B, così che come si è detto, risulti P B e x = MP = 0, y = NP = 2r e di conseguenza k = 6.
L'equazione della circonferenza si ricava considerando che il suo centro è O (α; β) = O (r; 0), per cui data l'equazione generale x² + y² + ax + by + c = 0, risulta che a = - 2α = -2r e b = 0, ma anche c = α² + β² - r² c = r² + 0 - r² = 0 e quindi x² + y² - 2rx = 0.

A questo punto andiamo a sostituire alla y nell'equazione della circonferenza, l'espressione precedentemente trovata dalla relazione fondamentale del problema

x² + ( - 3 2 x + k 2 r)² - 2rx = 0 x² + 9 4 x² + k² 4 r² - 3 2 krx - 2rx = 0 13 x² - 2r(3k + 4)x + k²r² = 0

Si ottiene così il sistema misto

13 x² - 2r(3k + 4)x + k²r² = 0
0 ≤ x ≤ 2r k ≥ 0

Determiniamo i dati da inserire nel confronto dei segni e per la discussione

A > 0 13 > 0;

Δ 4 = r² (3k+4)² -13k² r² > 0 9k² + 24k + 16 -13k² > 0 4k² - 24k - 16 > 0 k² - 6k - 4 > 0
k = 3 ±√13 3 - √13 < k < 3 + √13 0 ≤ k < 3 + √13

f(0) = k² r² = 0 Non negativo!

Σ = r (3k + 4) 13

Σ - 0 = r (3k + 4) 13 > 0 3k + 4 > 0 k > - 4 3 k ≥ 0

f(2r) = 13 (2r)² - 2r(3k + 4)·2r + k² r² > 0 52 - 12k - 16 + k² > 0 k² - 12k + 36 > 0
(k - 6)² > 0 ∀k ≠ 6

Σ - 2r = r (3k + 4) 13 - 2r > 0 3k - 22 > 0 k > 22 3

Dal quadro riassuntivo riportato a sinistra si deduce che il discriminante è non negativo da zero a 3 + √13, e quindi in tutto questo intervallo le radici sono reali.
Inoltre il coefficiente del termine di secondo grado è sempre positivo (A > 0) e quindi, essendo concorde con f(0) e risultando Σ ≥ 0 ne consegue che 0 < x_₁; d'altra parte il discorso è analogo anche per f (2r) per cui anche 2r < Σ cioè 2r < x_₂; pertanto complessivamente si ha 0 < x_₁ < 2r < x_₂ per 0 ≤ k < 6 nella prima semicirconferenza, analizzata finora, e quindi DUE Soluzioni sull'intera circonferenza!

Per 6 ≤ k ≤ 3 + √13 la situazione cambia solo per f(2r) che, divenendo Σ < 2r, x_₂ si colloca a sinistra di 2r, e quindi si ha 0 < x_₁ < x_₂ < 2r, cioè in una semicirconferenza le soluzioni diventano 2; pertanto si ha che sull'intera circonferenza abbiamo QUATTRO Soluzioni!

Problema n° 1293 pag 401 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Dopo aver scritto l'equazione della parabola con asse coincidente con la retta di equazione x = 2 e passante par i punti A(0; 1) e B (3; 4), disegnare la curva indicando con C e D i punti in cui la parabola taglia l'asse delle x.
Determinare per quali punti P (x; y) il rapporto tra l'area del triangolo APB e l'area del quadrilatero convesso ACDB, con P appartenente all'arco di parabola AB, sia pari a k.

Posto che sia y = ax² + bx + c l'equazione generale della parabola, per cui l'ascissa del vertice è in generale dato da x_{_V} = - b 2a e siccome dal testo si evince subito che x_{_V} = 2, è chiaro che deve risultare - b 2a = 2 b = - 4a; si sa anche che la parabola passa per A (0; 1) e quindi, sostituendo le sue coordinate nell'equazione, risulta c = 1; infine, passando per B (3; 4), si può scrivere, sostituendo nell'equazione generale, 4 = 9a + 3b + 1 3 = 9a - 12a a = -1 b = 4; per cui l'equazione della parabola è y = - x² + 4x + 1 che volge chiaramente la concavità verso il basso.
Allora il vertice ha coordinate V (- b 2a ; - Δ 4a ) = V (2; 5); e quelle dei punti C e D si possono trovare mettendo a sistema l'asse delle ascisse con la parabola

y = 0
y = - x² + 4x + 1

x² - 4x - 1 = 0 x = 2 ±√5 C (2 - √5; 0) e D (2 + √5; 0)

Il problema chiede che sia Area (ABP) Area (ABDC) dove ABDC è un quadrilatero convesso di area fissa, che

si può calcolare spacchettandolo nei triangoli rettangoli ACO, BB'D e nel trapezio rettangolo ABB'O

come in figura; considerando che CO = √5 - 2, che AO = 1, che DB' = 2 + √5 - 3 = √5 - 1 e infine

che BB' = 4, si hanno le seguenti aree

Area(ACO) = AO · CO 2 = √5 - 2 2
Area(BB'D) = BB' · B'D 2 = 4 (√5 - 1) 2 = 2 (√5 - 1)
Area(ABB'O) = (AO + BB') · OB' 2 = 5 · 3 2 = 15 2

E quindi per l'area totale del quadrilatero convesso si ha: Area (ABDC) = Area(ACO) + Area(BB'D) + Area(ABB'O) = √5 - 2 2 + 2 √5 - 2 + 15 2 = 5 √5 + 9 2
La retta passante per A e B di coefficiente angolare m = y_{_B} - y_{_A} x_{_B} - x_{_A} = 4 - 1 3 - 0 = 1 ha evidentemente equazione y = x + 1, vista l'ordinata di A che è evidentemente ordinata all'origine di quella retta.

Per calcolare l'area di ABP, occorre determinare l'altezza PH e la base AB = √(0 - 3)² + (1 - 4)² = 3 √2, intesa quindi come distanza tra i punti A e B.

Per determinare invece PH, giova osservare che si tratta di determinare la distanza di un punto P (x; y) da una retta (scritta in forma implicita) y - x - 1 = 0, ricordando che la formula generale è

d = |ax_{_P} + by_{_P} + c| √a² + b² PH = y - x - 1 √2 e quindi si può scrivere Area(ABP) = 1 2 · PH · AB = 1 2 · y - x - 1 √2 · 3 √2 = 3 2 · (y - x - 1)

E quindi, andando a sostituire nella relazione fondamentale del problema Area(ABP) = k · Area(ABDC) 3 2 · (y - x - 1) = k 5 √5 + 9 2 y = x + 1 + k 5 √5 + 9 3
Occorre dunque risolvere il sistema misto

y = x + 1 + k 5 √5 + 9 3
y = - x² + 4x + 1

0 ≤ x ≤ 3 1 ≤ y ≤ 4 k ≥ 0

x² - 3x + 5 √5 + 9 3 k = 0
0 ≤ x ≤ 3 k ≥ 0

Procediamo allora allo studio dei segni necessario per costruire il riquadro riassuntivo che consenta di trovare le soluzioni

A > 0 sempre;

Δ ≥ 0 9 - 4 3 k (5 √5 + 9) ≥ 0 k ≤ 27 4 (5 √5 + 9) k ≤ 27 (5 √5 - 9) 176

f(0) ≥ 0 k 5 √5 + 9 3 ≥ 0 k ≥ 0;

Σ = 3 2

Σ - 0 > 0 Sempre!

f (3) > 0 k 5 √5 + 9 3 > 0 k > 0

Σ - 3 > 0 3 2 - 3 = - 3 2 > 0 Mai!

Di conseguenza abbiamo il diagramma riassuntivo mostrato a lato.
Intanto osserviamo che il primo coefficiente dell'equazione, del termine di 2° grado, è positivo costante; mentre il discriminante è positivo per un ampio intervallo di k, fino a k = 27 (5 √5 - 9) 176 e in tutto questo intervallo A e f(0) sono concordi, quindi la f(0) esterna sinistra o destra; e poichè Σ > 0 deve essere 0 < x_₁, cioè esterna sinistra.
D'altra parte anche f(3) > 0 risulta concorde con A, ma dal momento che Σ - 3 < 0, l'ascissa x = 3 a cui corrisponde f(3) > 0 deve essere esterna destra, cioè deve aversi x_₂ < 3.
In definitiva per 0 < k < 27 (5 √5 - 9) 176 abbiamo 0 < x_₁ < x_₂ < 3, cioè 2 Soluzioni; ma anche per k = 0 si hanno 2 soluzioni corrispondenti a x_₁ = 0 e x_₂ = 3 a cui corrisponde Area(ABP) = 0.
Infine a k = 27 (5 √5 - 9) 176 corrisponde una soluzione doppia e si ha 0 < x_₁ = x_₂ = 3 2 < 3

Il problema si può risolvere anche graficamente.

Si tratta di trovare le intersezioni tra l'arco AB di parabola e il fascio improprio y = x + 1 + k 5 √5 + 9 3.
Procediamo con l'analisi delle soluzioni.
I triangoli ABP che interessano sono quelli formati dalla base AB (quindi 2 vertici fissi che sono appunto A e B) e il terzo vertice nel punto P che è variabile con la retta del fascio improprio che prendiamo in considerazione (i punti P, fissata una retta, sono evidentemente sempre due, salvo caso estremo quando Δ = 0 (tangenza).
Chiaramente la prima retta che variabile del fascio che interseca l'arco AB è y = x + 1 e le intersezioni con l'arco AB sono proprio nei punti A e B; quindi le soluzioni sono date in corrispondenza di PA e PB (soluzioni particolari per le quali risulta k = 0 e Area(ABP) = 0).
Spostando verso l'alto, o a valori di k > 0, la retta del fascio considerata, si hanno sempre due vertici (ognuno terzo vertice del triangolo ABP), in figura indicati con P' e P", che quindi individuano sempre due triangoli-soluzione (in questo caso i triangoli ABP', indicato con due lati di colore verde chiaro, e il triangolo ABP", indicato con due lati di colore blu).
L'ultima retta del fascio che interseca nel punto K l'arco di parabola AB è y = x + 13 4, dando luogo a soluzione doppia.
In definitiva, riassumendo, si ha

Retta y = x + 1

2 soluzioni particolari date da PA e PB con Area(ABP) = 0; k = 0.

Rette intermedie con 2 soluzioni reali e distinte, 0 < k < 27 (5 √5 - 9) 176

Retta y = x + 13 4 con k = 27 (5 √5 - 9) 176 e una soluzione doppia con x_₁ = x_₂ = 3 2 (condizione di tangenza in corrispondenza del punto K).

Problema n° 1317 pag 406 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O, sia A il punto in cui la parabola di equazione y = (x - 1)² taglia l'asse delle y e sia B il punto in cui la normale alla curva in A taglia ulteriormente la parabola.
Determinare sul segmento AB un punto C in modo che, indicato con D il punto di ordinata nulla della perpendicolare in C alla retta AB, sia

CO² + CD² = k OD²

Le coordinate di A dall'equazione della parabola y = (x - 1)², sostituendo y = 0 x = 1 A(0; 1); quindi determiniamo l'equazione della tangente alla parabola passante per A, scrivendo l'equazione del fascio avente come polo A: y - 1 = m(x - 0) e mettiamo a sistema con l'equazione della parabola, per imporre successivamente la condizione di tangenza (Δ = 0) all'equazione di secondo grado che si ottiene uguagliando i secondi membri delle equazioni a sistema

y = mx + 1
y = (x - 1)² (x - 1)² = mx + 1 x² - (m + 2)x = 0 Δ = (m + 2)² = 0 m = - 2

E quindi l'equazione della tangente è y = - 2x + 1, mentre quella della normale, sempre passante per A, è evidentemente y = 1 2 x + 1; mettendo a sistema quest'ultima equazione con quella della parabola, troviamo le coordinate del punto B

y = (x - 1)²
y = 1 2 x + 1 (x - 1)² = 1 2 x + 1 2 (x - 1)² - x - 2 = 0 2 x² - 5 x = 0 x_₁ = 0
x_₂ = 5 2
Dove x_₁ è l'ascissa di A e x_₂ quella di B, dalla quale possiamo calcolare l'ordinata, inserendola nell'equazione della normale per A: y_{_B} = 1 2 · 5 2 + 1 = 9 4 B ( 5 2 ; 9 4 )
La retta passante per il punto C (x; y) è parallela a y = - 2x + 1 e quindi ha equazione y = - 2x + n; d'altra parte il punto C appartiene anche alla retta y = 1 2 x + 1 e quindi mettendo a sistema, si trova l'ascissa del punto in funzione del parametro n

y = - 2x + n
y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2x + n 5x = 2 (n - 1) x = 2 5 (n - 1) y = 1 5 (n - 1) + 1
y = 1 5 (n + 4) C [ 2 5 (n - 1); 1 5 (n + 4)]
e per il punto D, appartenente alla retta y = - 2x + n e ricordando che y = 0, si ottiene 0 = - 2x + n x = n 2 D ( n 2 ; 0)

A questo punto si possono calcolare CO, CD, OD, anzi i relativi quadrati

CO² = x_{_C}² + y_{_C}² = 4 25 (n - 1)² + 1 25 (n + 4)²

CD² = (x_{_C} - x_{_D})² + y_{_C}² = [ 2 5 (n - 1) - n 2 ]² + 1 25 (n + 4)² = 1 100 (n + 4)² + 1 25 (n + 4)² = 1 20 (n + 4)²

OD² = x_{_D² =

n²

4}

Si ricordi che molte coordinate sono uguali a zero.
Di conseguenza si ha

CO² + CD² = k · OD² 4 25 (n - 1)² + 1 25 (n + 4)² + 1 20 (n + 4)² = k · n² 4 16 (n - 1)² + 4 (n - 4)² + 5 (n + 4)² 100 = 25 100 k n² 16 (n - 1)² + 9 (n - 4)² = 25 k n²

16 (n² - 2n + 1) + 9 (n² + 8n + 16) = 25 kn² 25n² + 40n - 25 kn² + 160 = 0 5 (k - 1)n² - 8n - 32 = 0

Vediamo ora in quale intervallo varia il parametro n, ordinata all'origine delle rette del fascio improprio che intersecano l'arco di parabola AB; il valore più basso che assume l'ordinata all'arigine delle rette del fascio improprio che intersecano il ramo AB di parabola è n = 1, corrispondente all'ordinata di A; mentre il più alto si ha per la retta del fascio improprio y = - 2x + n passante per B; valore di n che si ottiene sostituendo nell'equazione suddetta le coordinate di B ( 5 2 ; 9 4 ), quindi

y = - 2x + n 9 4 = - 2 · 5 2 + n n = 9 4 + 5 n = 29 4 e quindi si può dire che 1 ≤ n ≤ 29 4

pertanto si può scrivere il seguente sistema misto

5 (k - 1)n² - 8n - 32 = 0
1 ≤ n ≤ 29 4 k ≥ 0

Procediamo determinando la variazione dei segni per redarre il quadro riassuntivo necessario per trovare le soluzioni

A > 0 5 (k - 1) > 0 k > 1

Δ 4 = 16 + 160 (k - 1) ≥ 0 1 + 10 (k - 1) ≥ 0 k ≥ 9 10

f (1) > 0 5 k - 45 > 0 k > 9

n = 4 ±√Δ 5 (k - 1) Σ = n_₁ + n_₂ 2 = 4 5 (k - 1)

Σ - 1 > 0 4 5 (k - 1) - 1 > 0 9 - 5 k (k - 1) > 0 9 - 5 k > 0 k < 9 5 k - 1 > 0 k > 1 1 < k < 9 5

f ( 29 4 ) = 5 (K - 1) ( 29 4 )² - 8 · 29 4 - 32 > 0 4205 16 k - 4205 16 - 58 - 16 > 0 ..... k > 1129 841

Σ - 29 4 = 4 5 (k - 1) - 29 4 > 0 161 - 145 k k - 1 > 0 161 - 145 k > 0 k < 161 145 k - 1 > 0 k > 1 1 < k < 161 145

A questo punto siamo in grado di comporre lo schema riassuntivo che ci consente di trovare le soluzioni e che è riportato qui a lato
Dallo schema riassuntivo si vede che per k < 9 10 le radici sono complesse; per 9 10 ≤ k < 1 sia f (1) che f ( 29 4 ) sono concordi con il coefficiente del termine di secondo grado e la media delle radici risulta sempre minore di 1 e 29 4 , per cui le radici sono entrambe esterne sinistre, cioè si ha 9 10 ≤ k < 1 n_₁ < n_₂ < 1 < 29 4 (Nessuna soluzione!)
Per k = 1 l'equazione si abbassa di grado e l'unica soluzione è n = - 4, fuori dall'arco AB di parabola

Per k ∈ ]1, 161 145 [ f (1), f (29 4 ) sono entrambi discordi con A e quindi 1 e 29 4 sono interni alle radici n_₁ e n_₂

pertanto risulta che 1 < k < 161 145

Nessuna soluzione!
Per 161 145 ≤ k < 1129 841 la situazione non cambia e quindi

Nessuna soluzione!

Infine per k ≥ 1129 841 f ( 29 4 ) ≥ 0 e quindi n_₂ ≤ 29 4 Una soluzione! 1129 841 ≤ k ≤ 9

Problema n° 1318 pag 406 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Scritte le equazioni delle due parabole tangenti nell'origine alla retta di equazione y = 4x e passanti la prima per il punto A(4; 0) e la secondo per il punto B(8; 0), disegnare le due curve.
Determinare sull'arco OA un punto M e sull'arco OB un punto AN allineati con l'origine e tali che, indicate con M' e con N' le rispettive proiezioni sull'asse delle x di M e N, sia verificata la relazione

MM' + NN' + M'N' MN = √k
essendo k un numero reale positivo.

Data la formula generale y = ax² + bx + c = 0, dovendo passare per l'origine, le due parabole hanno c = 0; dovendo poi essere tangenti alla retta y = 4x, mettiamo a sistema e trovare un altro parametro incognito, sfruttando la condizione di tangenza Δ = 0

y = 4x
y = ax² + bx = 0

ax² + bx = 4x ax² + (b - 4)x = 0 Δ = (b - 4)² = 0 b = 4

Dunque per le due parabole abbiamo y = ax² + 4x = 0
Dovendo poi la prima passare per A (4; 0), risulta 16 a + 16 = 0, quindi a = -1, cioè si ha l'equazione y = - x² + 4x; mentre la seconda deve passare per B (8; 0), quindi 64 a + 32 = 0, cioè si ha a = - 1 2 , per cui la retta è y = - 1 2 x + 4x

Se M ed N sono allineati con l'origine, significa che giacciono sulla stessa retta di equazione y = mx, cioè un fascio proprio di rette aventi come polo l'origine, tenendo presente che del fascio interessano solo le rette comprese tra quella di equazione y = 0 (asse delle ascisse), per la quale risulta MN = M'N' e MM' = NN' = 0, a cui corrisponde k = 1 e m = 0; mentre l'altro estremo del fascio "utile" corrisponde alla retta y = 4x, con m = 4 escluso, perchè rende indeterminata la relazione fondamentale del problema; dunque per il paramentro m si ha 0 ≤ m < 4.
Mettendo a sistema l'equazione del fascio con l'equazione della prima parabola, si trovano le coordinate del punto M in funzione del parametro m; mettendo a sistema invece la seconda, si trovano le coordinate del punto N

	y = mx y = - x² + 4x	- x² + 4x = mx - x² + (4 - m)x = 0 x_{_M} = 4 - m, y_{_M} = m (4 - m) M (4 - m; 4m - m²)
	y = mx y = - 1 2 x² + 4x	x² - 2(m - 4) x = 0 x_{_N} = 2 (4 - m), y_{_N} = 2m (4 - m) N (8 - 2m; 8m - m²)

A questo punto è possibile esprimere le misure di tutti i segmenti in funzione di m, dal momento che M' ed N' hanno le stesse ascisse rispettivamente di M e di N ed ordinate pari a zero

MN = √(x_{_M} - x_{_N})² + (y_{_M} - y_{_N})² = √[(4 - m) - (8 - 2m)]² + [(4m - m²) - (8m - 2m²)]² = √(4 - m)² + m² (4 - m)² = (4 - m) √1 + m²

MM' = y_{_M} = 4m - m² NN' = y_{_N} = 8m - 2m² M'N' = x_{_N'} - x_{_M'} = 8 - 2m - (4 - m) = 4 - m

Ricordando che 4 - m > 0, quindi il fattore portato fuori dalla radice non necessita di valore assoluto.

E quindi si può andare a sostituire nella relazione fondamentale

MM' + NN' + M'N' MN = m (4 - m) + 2m (4 - m) + (4 - m) (4 - m) √1 + m² = (4 - m) (3m + 1) (4 - m) √1 + m² 3m + 1 √1 + m² = √k 3m + 1 = √k (1 + m²)

Ed elevando entrambi i membri al quadrato, senza porre limitazioni che già quelle che ci sono implicano realtà e concordanza di segno, si ha

(3m + 1)² = k (1 + m²) (k - 9)m² - 6m + (k - 1) = 0

In definitiva si ottiene il sistema misto

(k - 9)m² - 6m + (k - 1) = 0
0 ≤ m < 4 k > 0

Grazie al quale possiamo compilare il quadro riassuntivo per la ricerca delle soluzioni

Il coefficiente del termine di secondo grado A > 0 k - 9 > 0 k > 9

Il discriminante ridotto

Δ 4 > 0 9 - (k - 9) (k - 1) > 0 - k² + 10k > 0 0 ≤ k < 10

f (0) > 0 k - 1 > 0 k > 1

Σ - 0 3 k - 9 > 0 k > 9

f (4) > 0 17 k - 169 > 0 k > 169 17

Σ - 4 > 0 3 k - 9 - 4 > 0 39 - 4k k - 9 > 0 9 < k < 39 4

Esaminando il quadro sinottico, osserviamo che il coefficiente del termine di secondo grado è positivo per k > 9; per m = 9, la parabola degenera in una retta di equazione t = -6m + 8, con t e m le variabili cartesiane, e con m = - 4 3 , quindi, poichè per avere soluzioni deve essere m > 0, Nessuna soluzione!

Nell'intervallo 0 < k < 1 il primo coefficiente A e f (0) sono concordi, quindi bisogna esaminare Σ - 0, che è negativo, quindi la soluuzione x_₁ < 0 , esterna sinistra; epperò si verifica stessa cosa per x_₂, quindi complessivamente risulta
0 < k < 1 x_₁ < x_₂ < 0, quindi entrambe le radici sono esterne sinistre, cioè Nessuna soluzione

Per k = 1 l'equazione (k - 9)m² - 6m + (k - 1) = 0, perde il termine noto, diventando 8 m² + 6m = 0 con m_₁ = - 3 4 e m_₂ = 0, dove la m_₁ è da scartare perchè minore di zero; quindi 1 soluzione particolare.

Per 1 < k < 9 vediamo qual è la situazione: A < 0 ed f (0) > 0, discordi, quindi 0 è interno alle radici quindi x_₁ < 0; d'altra parte A < 0 e anche f (4) < 0, concordi e con Σ - 4 < 0, quindi x_₄ < 4, cioè complessivamente si ha
1 < k < 9 x_₁ < 0 < x_₂ < 4, quindi 1 soluzione

Per k = 9 si abbassa di grado l'equazione che diventa - 6m + 8 = 0 che ha radice m = 4 3 e quindi 1 soluzione

Per k > 9 cambia segno A > 0 che diventa concorde con f (0) > 0; ed essendo Σ - 0 > 0, significa che 0 < x_₁ per k > 9, sempre... d'altra parte A > 0 e f (4) sono discordi e questo significa che il 4 è interno alle radici, cioè si ha 4 < x_₂; quindi complessivamente per 0 < x_₁ < 4 < x_₂ , quindi 1 soluzione; e questo resta invariato fino al successivo cambiamento di segno di f (4) che avviene a k = 169 17 , quando, fermo restando x_₁ < 0, si ha x_₂ < 4, cioè risulta complessivamente 0 < x_₁ < x_₂ < 4 per 169 17 ≤ k ≤ 10 quindi 2 soluzioni

Problema di geometria analitica, testo preso su internet

Sull'arco della parabola di equazione y = x² - 4 costituito da tutti e soltanto i punti di ascissa non negativa e ordinata non positiva, si determini un punto P tale che, dette A e B le proiezioni rispettivamente sulla retta di equazione x = 4 e sulla y = 4, risulti
2 AP + BP = k OV
essendo O l'origine degli assi, V il vertice della parabola e k un intero positivo.

Si tratta di risolvere evidentemente un sistema misto tra l'equazione della parabola e l'equazione di primo grado ottenibile esprimendo le misure di tutti i segmenti coinvolti nella relazione fondamentale del problema in funzione delle coordinate variabili del punto P e con le limitazioni 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4, anche se quest'ultima si può considerare implicita, dal momento che discende dalle limitazioni su x, dovendo il punto appartenere al suddetto ramo di parabola; ed infine deve risultare k ≥ 0.
Ricaviamo l'equazione lineare da quella fondamentale del problema

2(4 - x) + (4 - y) = 4 k 2x + y + 4k - 12 = 0 y = - 2x + 12 - 4k (forma implicita ed esplicita)

In definitiva si ha

y = x² - 4
y = - 2x + 12 - 4k 0 ≤ x ≤ 2 k ≥ 0

Il sistema può essere risolto graficamente, cercando le intersezioni tra il fascio improprio di rette y = - 2x + 12 - 4k e l'arco VT della parabola data evidenziato in arancione nel grafico a sinistra.
Da come evidenziato sul grafico a destra, si ha una sola intersezione per tutte le rette comprese tra quella di equazione (inclusa)
y = - 2x - 4, a cui corrisponde come intersezione il vertice V della parabola e un valore di k = 4, e quella, sempre inclusa, di equazione
y = - 2x + 4, con intersezione nel punto T (2; 0) a cui corrisponde un valore di k = 2.
Quindi possiamo dire che il problema ammette una soluzione ordinaria per 2 ≤ k ≤ 4

Problema n. 327 pag. 558 testo Lamberti, Mereu - Lezioni di Matematica 1 - ETAS edizioni (2008)

Dopo aver scritto l'equazione della parabola γ con asse parallelo all'asse y e passante per i punti A (3; 0), B (5; 0), C (1; 2), rispondere ai seguenti quesiti

determinare l'equazione della parabola γ_₁ simmetrica di γ rispetto alla retta y = 15 4 ;
calcolare l'area della regione di piano delimitata da γ e γ_₁;
determinare il numero di intersezioni tra l'arco di parabola compreso tra il punto di ascissa 0, indicato con F, e quello di ascissa 12, indicato con G, della parabola γ, e il fascio di rette di equazione y = x + k con k ∈ R

Scritta l'equazione generale della parabola γ, cioè y = ax² + bx + c, scriviamo il sistema per determinarne i parametri a, b, c, imponendo il passaggio per i punti dati

passaggio per A (3; 0) 9a + 3b + c = 0
passaggio per B (5; 0) 25a + 5b + c = 0
passaggio per C (1; 2) a + b + c = 2

ottenendo il sistema

a + b + c = 2
25a + 5b + c = 0
9a + 3b + c = 0

a = 2 - b - c
25(2 - b - c) + 5b + c = 0
9(2 - b - c) + 3b + c = 0

10b + 12c - 25 = 0
3b + 4c - 9 = 0

a = 1 4
b = - 2
c = 15 4

y = 1 4 x² - 2 x + 15 4 ( l'equazione della parabola γ )
Per la parabola γ_₁, detta a_₁x² + b_₁x + c_₁ = 0, osserviamo che dev'essere a_₁ = - 1 4 , inoltre le ascisse dei vertici delle due parabole devono essere entrambe uguali a 4; quindi - b_₁ 2a_₁ = 4 b_₁ = - 8 a_₁ b_₁ = - 8 (- 1 4 ) = 2 mentre c_₁ = 15 4 , avendo ordinata all'origine identica; per cui l'equazione di γ_₁ è g(x) = - 1 4 x² + 2 x + 15 4

Per rispondere alla seconda domanda, occorre considerare il cosiddetto Teorema di Archimede che si riferisce al calcolo dell'area del settore parabolico delimitato dalla retta y = 15 4 e dalla parabola γ, e in figura indicato con la lettera S.
Con un ragionamento che implica un passaggio al limite (in pratica un'integrazione "ante litteram", per così dire, in quanto in terza classe del liceo non vengono ancora studiati gli integrali), si trova che Area(S) = 2 3 Area(MNQP), dove Area(MNQP) = Area(S) + 2 Area(T); e quindi
Area(S) = Area(MNQP) - 2 Area(T) = 2 3 Area(MNQP), ma qui si omette la dimostrazione.
Ora, per calcolare Area(MNQP), si osservi che PQ = 8, mentre per calcolare MP, occorre osservare che il punto M appartiene alla retta y = 15 4 e quindi y_{_M} = 15 4 , inoltre il punto P ha la stessa ordinata del vertice di γ, che evidentemente è y_{_P} = y_{_V} = - Δ 4a = - Δ 4 · 1 a = - (1 - 15 4 · 1 4 ) · 4 = - 1 4
e quindi si ha MP = y_{_M} - y_{_P}= 15 4 - (- 1 4 ) = 4; di conseguenza risulta Area(MNQP) = MP · PQ = 4 · 8 = 32 per cui risulta che
Area(S) = 2 3 Area(MNQP) = 64 3 e infine, poichè l'area della regione compresa tra le due parabole è il doppio di quella appena calcolata, si ha Area(2S) = 128 3

L'ordinata del punto G di ascissa 12 della parabola γ si calcola sostituendo x = 12 nell'equazione, ottenendo
y = 1 4 · 12² - 2 · 12 + 15 4 = 63 4 ; inserendo queste coordinate, cioè x = 12 e y = 63 4 nell'equazione del fascio improprio y = x + k, si trova il valore di k corrispondente alla retta passante per quel punto: 63 4 = 12 + k k = 15 4 , quindi la retta ha equazione
y = x + 15 4 .
Adesso, mettendo a sistema l'equazione della retta trovata con quella della parabola, determiniamo la seconda intersezione

y = 1 4 x² - 2 x + 15 4
y = x + 15 4

1 4 x² - 2 x + 15 4 = x + 15 4 1 4 x² - 3 x = 0 x² - 12x = 0

x_₁ = 0
x_₂ = 12

Quindi i punti F e G sono allineati sulla suddetta retta a cui corrisponde k = 15 4 , e pertanto per k = 15 4 si hanno due intersezioni, che restano tali fino a raggiungere la retta tangente che può essere determinata, determinandone il corrispondente parametro k, imponendo la condizione di tangenza per l'equazione 1 4 x² - 2 x + 15 4 = x + k 1 4 x² - 3x + 15 4 - k = 0 x² - 12 x + 15 - 4k = 0
Δ 4 = 36 - 15 + 4 k = 0 21 + 4k = 0 k = - 21 4 quindi si hanno 2 intersezioni per - 21 4 ≤ k ≤ 15 4 e le rette del fascio improprio coinvolte sono tutte quelle comprese tra la tangente nel punto H di equazione y = x - 21 4 e la retta passante per i punti F e G e avente equazione y = x + 15 4

Problema n. 17 pag. 701 testo Lamberti, Mereu - Lezioni di Matematica 1 - ETAS edizioni (2008)

Data l'ellisse di equazione 9x² + 25y² = 225, determinare:

l'equazione della tangente t nel punto M di ordinata positiva che ha la stessa ascissa del fuoco F di ascissa positiva;
l'area e il perimetro del quadrilatero circoscritto che ha per lati le tangenti condotte per i punti dell'ellisse che hanno le stesse ascisse dei fuochi e verificare che il rapporto tra la diagonale minore e la maggiore è uguale all'eccentricità
sull'arco AB dell'ellisse situato sul primo quadrante, un punto P tale che il quadrilatero OAPB abbia area uguale a 4k con k ∈ R⁺.

Si sa che F(c; 0) dove l'ascissa c si determina ricordando che c² = a² - b² dove a = 5, b = 3 sono i semiassi dell'ellisse; per cui risulta c = 4, quindi F(4; 0) e di conseguenza x_{_M} = 4.
Per trovare l'ordinata di M, basterà sostituire l'ascissa determinata nell'equazione dell'iperbole, ottenendo
y = ± 9 5 e quindi si ha y_{_M} = + 9 5 .
Per trovare l'equazione della tangente all'ellisse passante per M (4; 9 5 ), scriviamo quella del fascio con polo M:
y - 9 5 = m (x - 4) y = m (x - 4) + 9 5 y = 1 5 · (5m x - 20m + 9) e sostituendo nell'equazione dell'ellisse
9 x² + 25 [ 1 5 · (5m x - 20m + 9)]² = 225 9 x² + (5m x - 20m + 9)² = 225
9 x² + 25m²x² + 400m² + 81 - 200m² x + 90m x - 360m - 225 = 0

(9 + 25m²) x² - 10m (20m - 9) x + 400m² - 360m - 144 = 0 e non resta che imporre la condizione di tangenza, ponendo uguale a zero il discriminante ridotto:
Δ 4 = 25m² · (20m - 9)² - (9 + 25m²) · (400m² - 360m -144) = 0 sviluppando e semplificando
25m² + 40m + 16 = 0 m = - 4 5 sviluppando e semplificando soluzione doppia! Per cui, sostituendo nell'equazione y = 1 5 · (5m x - 20m + 9) y = 1 5 · (- 4 x + 25) y = - 4 5 x + 5
A questo punto mettiamo a sistema l'equazione della retta tangente con quelle degli assi e troviamo le coordinate dei punti d'intersezione indicati con K e H:
y_{_K} = 5 e quindi K (0; 5); in modo analogo si trova x_{_H} = 25 4 e quindi H ( 25 4 ; 0)

Questo ci consente di calcolare le misure di KO e HO che sono rispettivamente altezza e base del triangolo rettangolo KOH, allo scopo di calcolarne l'area, dal momento che quest'ultima, moltiplicata per 4, vista la simmetria della figura, ci da l'area del quadrilatero circoscritto all'ellisse.

KO = y_{_K} = 5 e inoltre HO = x_{_H} = 25 4 per cui si può scrivere Area(KOH) = KO · HO 2 = 125 8 e quindi l'area del quadrilatero circoscritto, indicato con QC è Area (QC) = 125 2 ; mentre il perimetro, indicato semplicemente con 2p, si potrà calcolare applicando Pitagora ai cateti e moltiplicando l'ipotenusa trovata per 4

KH = √KO² + HO² dove KO² + HO² = (5)² + ( 25 4 )² = 25 + 25 · 25 16 = 25 16 · 41 e quindi KH = 5 4 √41 avendo infine 2p = 5 √41 il perimetro cercato.

A questo punto cominciamo ad affrontare il terzo quesito, notando che se P A, il quadrilatero si riduce al triangolo rettangolo AOB (fig. a sinistra) la cui area è data da

AO · BO 2 = 4k 15 2 = 4k k = 15 8 , cosa che accade anche se P B.

Se invece il punto è un generico punto P (x; y) dell'arco AB dell'ellisse, allora per il calcolo dell'area del quadrilatero OAPB giova osservare che esso può essere diviso nel triangolo rettangolo APQ e nel trapezio rettangolo OQPB, per i quali le formule delle aree si scrivono

Area(APQ) = 1 2 · (AO - y) · x = 1 2 · (3 - y) · x
Area(OQPB) = 1 2 · (QP + OB) · OQ = 1 2 · (x + 5) · y

E quindi la relazione fondamentale del problema si scrive
Area(OAPB) = 4k Area(APQ) + Area(OQPB) = 4k 1 2 · (3 - y) · x + 1 2 · (x + 5) · y = 4k 3 2 x - 1 2 xy + 1 2 xy + 5 2 y = 4k 3 2 x + 5 2 y = 4k 3x + 5y = 8k

L'equazione così ottenuta è quella di un fascio improprio di rette che consente di risolvere il problema in termini di intersezioni tra le rette del fascio e l'arco AB dell'ellisse.
Così, sostituendo nell'equazione del fascio prima le coordinate di A (0; 3) e poi quelle di B (5; 0), si trova
3x + 5y = 8k ← A (0; 3) k = 15 8
3x + 5y = 8k ← B (5; 0) k = 15 8
e questo significa che A e B appartengono alla stessa retta del fascio di equazione 3x + 5y = 15 che è anche la prima retta intersecante l'arco AB.
Guardando poi il grafico e come è d'altra parte atteso, si comprende che l'estremo valore di k che corrisponde a rette intersecanti il suddetto arco AB, si trova imponendo la condizione di tangenza tra fascio ed ellisse, mettendo a sistema le rispettive equazioni

9x² + 25y² = 225
y = - 3 5 x + 8 5 k

y = - 3 5 x + 8 5 k
9x² + 25 ( - 3 5 x + 8 5 k)² = 225

9x² + (8k - 3x)² = 225

9x² + 64k² + 9x² - 48k x - 225 = 0 18x² - 48k x + 64k² - 225 = 0
Δ 4 = (24k)² - 18 (64k² - 225) = 0 576k² - 1152k² + 4050 = 0 - 576k² + 4050 = 0 32k² - 225 = 0 k² = 225 32 k = 15 √2 8 avendo escluso la soluzione negativa.

e quindi il risultato è che ∀k ∈ [ 15 8 ; 15 √2 8 ] il problema ammette 2 Soluzioni, avendosi una soluzione doppia per la retta tangente.
Si può risolvere anche con la discussione della variazione dei segni dei vari fattori nel sistema misto; vediamo come, tenendo presente che occorre considerare il sistema misto

18x² - 48k x + 64k² - 225 = 0
0 ≤ x ≤ 5 k > 0 y ≥ 0

intanto osserviamo che A > 0; poi Δ 4 ≥ 0 - 576k² + 4050 ≥ 0 - 15 √2 8 ≤ k ≤ 15 √2 8 0 ≤ k ≤ 15 √2 8 intervallo di realtà delle radici

f (0) = 64 k² - 225 > 0 k < - 15 8 e k > 15 8 , ma le soluzioni negative di k non sono accettabili, quindi k > 15 8
Σ = x_₁ + x_₂ 2 = 4 3 k
Σ - 0 = 4 3 k > 0 k > 0
f (5) = 64k² - 240k + 225 > 0 (8k - 15)² > 0 Sempre non negativo
Σ - 5 = 4 3 k - 5 > 0 k > 15 4

Non resta che raccogliere in uno schema descrittivo, riportato qui di seguito, i dati elaborati sulla variazione dei segni

A questo punto, interpretiamo i risultati raccolti nello schema riassuntivo qui a sinistra.
Intanto il primo coefficiente dell'equazione, cioè A è sempre maggiore di zero; poi la realtà delle radici è assicurata fino a k = 15 8 √2; dal fatto che A e f (0) sono discordi, discende che il numero esaminato, cioè zero, è interno alle radici, cioè la situazione è

per 0 ≤ k < 15 8 ; d'altra parte nello stesso intervallo di k, A e f (5) sono concordi e con Σ < 5 e quindi la situazione complessiva è

, corrispondente ad UNA soluzione; ma occorre considerare a questo punto anche la limitazione y ≥ 0, senza la quale, fermo restando che x ≥ 0, non sono escluse soluzioni nel 4° quadrante, che non sono ammissibili, dovendo essere considerate solo quelle dell'arco di ellisse AB limitato al 1° quadrante.
Risulta infatti che la limitazione y ≥ 0, corrisponde a 8 5 k - 3 5 x ≥ 0, dalla quale, sostituendo x = 5, si ha k ≥ 15 8 , limitazione su k che discende da quella su y ≥ 0.
Di conseguenza la soluzione trovata è da scartare perchè situata nel 4° quadrante, dove y < 0.
A questo punto è facile vedere che nel successivo intervallo 15 8 ≤ k ≤ 15 √2 8 , poichè f (0) diventa concorde con A ed inoltre la differenza Σ - 0 diventa positiva, lo 0 passa a sinistra della radice x_₁ (0 < x_₁) e quindi la situazione diventa

, cioè si hanno 2 Soluzioni!, come già trovato con il metodo grafico.

Successivamente, per valori maggiori di k, il discriminante diventa negativo e le radici diventano complesse coniugate.

Problema n. 18 pag. 701 testo Lamberti, Mereu - Lezioni di Matematica 1 - ETAS edizioni (2008)

Data l'ellisse di equazione 16x² + 25y² = 400, determinare:

l'equazione della retta AB, essendo A e B i vertici dell'ellisse di ascissa e ordinata positive;
le equazioni delle rette parallele ad AB che hanno dai fuochi dell'ellisse distanza uguale alla lunghezza del segmento AB;
detto F il fuoco di ascissa positiva, sull'arco AB posto nel primo quadrante, un punto P tale che il quadrilatero OFPB abbia area uguale a k con k ∈ R⁺.

Dall'equazione dell'ellisse, detti come usuale a e b i semiassi, possiamo scrivere a² = 400 16 a = 5 ed anche b² = 400 25 b = 4 e da qui ricavare il valore del parametro c, sapendo che i fuochi sono rispettivamente F'(-c; 0) e F (c; 0) e che c² = a² - b², otteniamo c = 3, e di conseguenza F'(-3; 0) e F (3; 0), le coordinate dei fuochi.
L'equazione della retta passante per A e per B, si può scrivere y - y_{_A} = y_{_A} - y_{_B} x_{_A} - x_{_B} (x - x_{_A})
y - 4 = 4 - 0 0 - 5 (x - 0) y = - 4 5 x + 4 o in forma implicita 4x + 5y - 20 = 0.
Proseguiamo calcolando la lunghezza del segmento AB AB² = (x_{_A} - x_{_B})² + (y_{_A} - y_{_B})² = 41
AB = √41.
L'equazione del fascio improprio delle rette parallele a quella passante per A e B è 4x + 5y - 5n = 0 ed occorre determinare quelle delle parallele distanti √ 41 dai fuochi che, come visto, sono F'(-3; 0) e F (3; 0).
Ricordiamo che se ax + by + c = 0 è l'equazione implicita di una retta e P (x_₀; y_₀) un punto non appartenente ad essa, la distanza, indicata con d_{_P}, del punto dalla retta si calcola con la formula d_{_P} = |a x_₀ + b y_₀ + c| √a² + b² , e, nel caso in esame, considerando prima il fuoco F'(-3; 0), si ha d_{_F'} = |4 x_{_F'} + 5 y_{_F'} - 5n| √4² + 5² = |- 12 - 5n| √41
Le soluzioni, visto il valore assoluto, sono in realtà due, e cioè

- 12 - 5n √41 = √41 - 12 - 5n = 41 n = - 535 4x + 5y + 53 = 0
12 + 5n √41 = √41 + 12 + 5n = 41 n = 295 4x + 5y - 29 = 0

Analogamente se consideriamo il fuoco F (3; 0), si ha d_{_F} = |4 x_{_F} + 5 y_{_F} - 5n| √4² + 5² = |+ 12 - 5n| √41 ed anche qui, visto il valore assoluto, si hanno due soluzioni

+ 12 - 5n √41 = √41 + 12 - 5n = 41 n = - 295 4x + 5y + 29 = 0
- 12 + 5n √41 = √41 - 12 + 5n = 41 n = 535 4x + 5y - 53 = 0

L'area richiesta si calcola mediante somma di quelle dei triangoli HPB, PH'F e del rettangolo HOH'P; aree che vanno espresse in funzione delle coordinate variabili x, y del punto P.
Procediamo dunque alla determinazione di queste aree in funzione delle variabili x, y
Area (HPB) = 12 · (PH · BH) = 12 · x · (OB - y) = 12 · x · (4 - y)
Area (PH'F) = 12 · (PH' · H'F) = 12 · y · (OF - x) = 12 · y · (3 - x)
Area (HOH'P) = x · y
In definitiva si ha Area (HPB) + Area (PH'F) + Area (HOH'P) = k 12 · x · (4 - y) + 12 · y · (3 - x) + x · y = k 2x - 12 xy - 12 xy + 32 y + xy = k 4x + 3y = 2k
E dunque si ha il sistema

16x² + 25y² = 400
4x + 3y - 2k = 0 0 ≤ x ≤ 5 y ≥ 0

16x² + 25y² = 400
y = 2 3 k - 4 3 x 0 ≤ x ≤ 5 y ≥ 0

Si tratta dunque di trovare le intersezioni tra il fascio improprio y = 2 3 k - 4 3 x e l'ellisse, con le dovute limitazioni sulle variabili
0 ≤ x ≤ 5 y ≥ 0 quindi tra fascio improprio ed arco AB dell'ellisse.
All'aumentare di k, la prima retta che interseca l'arco, nel punto A, è quella di equazione 4x + 3y = 12 che corrisponde a k = 6; sempre con una intersezione fino a quando non si aggiunge anche l'intersezione con B, che corrisponde ad un valore di k = 10 e retta del fascio 4x + 3y = 20.
Pertanto, da queste considerazioni, discende che per 6 ≤ k < 10 → UNA Soluzione!.
Le soluzioni diventano due quando, con la retta 4x + 3y = 20 si interseca il punto B per k = 10.
La situazione continua così finchè non viene raggiunta la condizione limite di tangenza, con la retta 4x + 3y = 4 √34, per un valore di
k = 2 √34. Superato questo valore, fascio ed ellisse non s'intersecano più.
Quindi si può dire che per 10 ≤ k ≤ 2 √34 il problema ammette 2 Soluzioni!.

Dato dunque il sistema misto visto, si può nell'equazione dell'ellisse, sostituire alla variabile y, l'espressione ottenuta per essa dall'equazione del fascio improprio in funzione della variabile x

y = 2 3 k - 4 3 x
16x² + 25 ( 2 3 k - 4 3 x)² = 400

16x² + 25 ( 4 9 k² + 16 9 x² - 16 9 kx) - 400 = 0
0 ≤ x ≤ 5 y ≥ 0

144 x² + 100 k² + 400 x² - 400 kx - 3600 = 0 544 x² - 400 kx + 100 k² - 3600 = 0

136 x² - 100 kx + 25 k² - 900 = 0

Δ 4 > 0 2500 k² - 3400 k² + 122400 > 0 - 900 k² + 122400 > 0 - k² + 136 > 0 k² - 136 < 0 - 2 √34 < k < 2 √34 0 ≤ k ≤ 2 √34 poichè k ∈ R⁺.

Si osservi poi che A > 0 (il coefficiente del termine di secondo grado)

f (0) > 0 25 k² - 900 > 0 k² - 36 > 0 (k < - 6) U (k > 6) k > 6 (poichè k deve essere non negativo!)

Σ = x_₁ + x_₂ 2 = 25 68 k
Σ - 0 > 0 25 68 k - 0 > 0 k > 0
f (5) > 0 ....... k² - 20k + 100 > 0 k > 0; k = 10 f (5) = 0

Σ - 5 > 0 25 68 k - 5 > 0 k > 68 5

E a questo punto si può compilare il quadro sinottico della variazione dei segni

Dall'esame del quadro sinottico si deduce che, senza limitazioni sulla variabile y, si ha, fermo restando che è sempre
A > 0,

per k < 6, risulta che A e f (0) sono discordi, quindi sicuramente x_₁ < 0 < x_₂; essendo poi A e f (5) concordi, deve essere anche, poichè Σ < 5, x_₂ < 5; dunque complessivamente si ha x_₁ < 0 < x_₂ < 5 ∀ k < 6
(cioè 1 Soluzione!);
per 6 ≤ k < 10 cambia la situazione di x_₁, per cui si ha 0 < x_₁ < x_₂ < 5 per 6 < k < 10 (cioè 2 Soluzioni!);
cosa che vale anche nell'intervallo 10 ≤ k ≤ 2 √34.

Appare evidente che ci sono soluzioni in più rispetto al metodo grafico, e ciò è comprensibile se si considera che la limitazione y > 0 non è stata presa in considerazione.
Per poterlo fare, ricaviamo dall'equazione del fascio la variabile x in funzione di y

y = 2 3 k - 4 3 x x = k 2 - 3 4 y e sostituiamola nell'equazione dell'ellisse 16 ( k 2 - 3 4 y)² + 25 y² - 400 = 0
(2 k - 3 y)² + 25 y² - 400 = 0 17 y² - 6k y + 2k² - 200 = 0 e risolviamo rispetto ad y, applicando la risolutiva ridotta

y = 3k ±√9k² - 17 (2k² - 200) 17 = 3k ±√3400 - 25k² 17 = 3k ± 5 √136 - k² 17

E da qui, ricordando che dev'essere y ≥ 0, si ha 3k ±5 √136 - k² ≥ 0 e, sostituendo i vari valori di k, si valutano le soluzioni che devono rispettare le limitazioni y ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ 5.
Ponendo infatti k = 6, si ha 18 ±5 √136 - 6² = 18 ±50 ottenendosi le due soluzioni y_₁ = - 32 17 e y_₂ = 68 17 = 4 dove y_₁ non è accettabile perchè minore di zero; mentre y_₂ = 4 corrisponde alla circostanza che B P, con il quadrilatero che si riduce ad un triangolo; da qui si comprende che per y < 6 x < 0 , e quindi tutte le soluzioni per 0 ≤ k < 6 non sono accettabili perchè le variabili x, y sono fuori range; inoltre la situazione per k = 6 sussiste in tutto l'intervallo 6 ≤ k < 10, infatti, calcolando la y per k = 10, si hanno le soluzioni y_₁ = 24 17 , y_₂ = 36 17 , entrambe nel range di y, ma alla prima corrisponde una x negativa, quindi fuori range, come si può verificare sostituendo y_₁ = 24 17 e k = 10, nell'equazione y = 2 3 k - 4 3 x, per cui in questo intervallo si ha 1 Soluzione; infine non cambia niente nell'intervallo 10 ≤ k ≤ 2 √34 in cui sussistono 2 Soluzioni

Problema n. 21 pag. 701 testo Lamberti, Mereu - Lezioni di Matematica 1 - ETAS edizioni (2008)

Dopo aver determinato l'equazione della circonferenza di diametro AB, con A (0; 1) e B (4; 1), e l'equazione della parabola γ passante per A e B e che stacca sull'asse delle x un segmento lungo 2 √6, verificare che il vertice di γ sta sulla circonferenza.
Determinare infine una corda della circonferenza parallela all'asse x, situata nel 1° quadrante in modo che risulti uguale a k, con k ∈ R⁺, la somma della sua lunghezza con la sua distanza dal vertice di γ.

Data l'equazione generale della circonferenza x² + y² + ax + by + c = 0, procediamo determinando i valori dei parametri a, b, c, imponendo il passaggio per i punti A e B e noto il raggio r = 2 della circonferenza, visto che risulta r = AB 2 = |x_{_A} - x_{_B}| 2 = 2, ne consegue anche che C (α ; β) = C (2; 1), il centro della circonferenza.

passaggio per A (0; 1) 1 + b + c = 0 b + c = - 1
passaggio per B (4; 1) 16 + 1 + 4a + b + c = 0 16 + 4a = 0 a = - 4
c = α² + β² - r² = 4 + 1 - 4 = 1 b = - 2

di conseguenza l'equazione della circonferenza è x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0
A questo punto, detta y = d x² + e x + f l'equazione della parabola della traccia, vediamo di determinarne i parametri d, e, f, imponendo per cominciare il passaggio per A e B

passaggio per A (0; 1) f = 1 y = d x² + e x + 1
passaggio per B (4; 1) 1 = 16 d + 4 e + 1 4 d + e = 0

Per finire mettiamo a sistema l'equazione della parabola y = d x² + e x + 1 con l'asse delle x, ottenendo
d x² + e x + 1 = 0 e troviamo le radici dell'equazione che evidentemente possono essere scritte nella forma
x_₁ = - e - √e² - 4d 2d , per la radice più piccola, e x_₂ = - e + √e² - 4d 2d , per la radice più grande; e poi imponendo che
MN = x_₂ - x_₁ = - e + √e² - 4d 2d - - e - √e² - 4d 2d = 2 · √e² - 4d 2d = √e² - 4d d = 2 √6

√e² - 4d = 2d √6 e² - 4d = 24d² ;
quindi, con l'equazione trovata tra e e d, otteniamo il sistema

e² - 4d = 24d²
4d + e = 0

e = -4d
16d² - 4d = 24d²

8d² + 4d = 0
e = - 4d

d = - 1 2
e = 2

Di conseguenza l'equazione della parabola γ è y = - 1 2 x² + 2x + 1.
Non resta che determinare il vertice V della parabola γ e mostrare che è anche punto della circonferenza; quindi abbiamo
V (- e 2d ; - Δ 4d ) x_{_V} = - e 2d = - 2 -1 = 2 ; ed anche y_{_V} = - Δ 4d = - e² - 4d 4d = 3, cioè V (2; 3) e, sostituendo le coordinate nell'equazione della circonferenza, è facile vedere che il vertice appartiene anche ad essa.

Non rimane che risolvere l'ultimo quesito

La relazione fondamentale del problema si scrive 2 EH + HV = k dove EH = 2 - x e HV = 3 - y e quindi

2 EH + HV = k 2 (2 - x) + 3 - y = k 2x + y + k - 7 = 0

L'equazione ottenuta è quella di un fascio improprio di rette parallele con coefficiente angolare - 2
Si ottiene allora il sistema misto

x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0
2x + y + k - 7 = 0 0 ≤ x ≤ 4 0 ≤ y ≤ 3 k > 0

e quindi, poichè y = - 2x + 7 - k, occorre studiare le intersezioni del fascio improprio con la circonferenza data

Partendo quindi dal sistema misto scritto, ricavando la variabile y dal fascio improprio e sostituendola nell'equazione della circonferenza, si ottiene

5x² - 4 (7 - k) x + (k² - 12k + 36) = 0
0 ≤ x ≤ 4 0 ≤ y ≤ 3 k > 0

dal quale, ponendo il discriminante ridotto uguale a zero,
si ricavano le tangenti tra fascio e circonferenza

Quindi possiamo scrivere

Δ 4 = 0 4 (7 - k)² - 5 (k² - 12k + 36) = 0 k² - 4k - 16 = 0 k = 2 ± 2 √5

e sostituendo nell'equazione parametrica di secondo grado del sistema misto i valori di k trovati, si ha

Valore inferiore di k = 2 - 2 √5 5x² - 4 [7 - (2 - 2√5)] x + (2 - 2 √5)² - 12 (2 - 2 √5) + 36 = 0

5x² - 4 (5 + 2 √5)x + 36 + 16 √5 = 0

a cui corrisponde x_{_1,2} = 2 (5 + 2 √5) 5 = 10 + 4 √5 5 (soluzione doppia); mentre per l'ordinata

y = - 2x + 7 - k y = - 2x + 7 - (2 - 2 √5) y = - 2x + 5 + 2 √5 sostituendo il valore trovato per x

y = - 2 10 + 4 √5 5 + 5 + 2 √5 y = 5 + 2 √5 5 quindi il punto di tangenza è M ( 10 + 2 √5 5 ; 5 + 2 √5 5 ) che cade nel primo quadrante; quindi sembrerebbe che ci sia una soluzione doppia accettabile per il problema; invece non è così perchè gli corrisponde una k = 2 - 2 √5 < 0, mentre essa deve essere positiva.

Tutte le soluzioni, che corrispondono, a due a due, a valori di k < 0, sono da scartare, quindi.

Occorre allora provare ponendo k = 0 nell'equazione di secondo grado 5x² - 4 (7 - k) x + (k² - 12k + 36) = 0 5x² - 28x + 36 = 0 x_{_1,2} = 14 ±4 5 x_₁ = 2; x_₂ = 18 5 3,6
sostituendo queste radici nell'equazione del fascio improprio, per k = 0, y = - 2x + 7, si determinano le ordinate y_₁ = - 2x_₁ + 7 = 3 e per la seconda radice y_₂ = - 2x_₂ + 7 = - 36 5 + 7 = - 1 5 < 0 fuori range perchè negativa!

Quindi, per k = 0 si ha 1 soluzione in corrispondenza del punto d'intersezione (retta, circonferenza) di coordinate U (2; 3).

E così, di conseguenza, per k ≥ 0 si ha una soluzione ammissibile, finchè anche la y_₂ diventa non negativa al crescere di k; vediamo allora per quale valore di k la y_₂ = 0, al che le soluzioni ammissibili diventano 2.
Occorre cercare per - 2x + 7 - k = 0 2x + k - 7 = 0 e determinare il corrispondente valore di ascissa, cercando l'intersezione con la circonferenza, cioè risolvendo il sistema

x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0
2x + k - 7 = 0
y = 0

x² - 4x + 1 = 0
2x + k - 7 = 0

x² - 4x + 1 = 0
x = - 1 2 (k - 7)

1 4 (k - 7)² + 2 (k - 7) + 1 = 0

(k - 7)² + 8 (k - 7) + 4 = 0 k² - 6k - 3 = 0 k = 3 ± 2 √3

Qui occorre fare una considerazione, e cioè che a causa del fatto che nell'equazione y = - 2x + 7 - k la k ha il segno negativo, ad un valore maggiore di essa corrisponde un'ordinata all'origine della retta corrispondente minore, per cui nel grafico a lato alla retta e corrisponde k = 3 + 2 √3, cioè il valore maggiore di k; mentre alla retta q il valore minore k = 3 - 2 √3
Quindi possiamo dire che da k = 3 + 2 √3 le soluzioni sono due, e questo fino a raggiungere, all'aumentare di k, la seconda condizione di tangenza per k = 2 + 2 √5

In definitiva e ricapitolando, si ha

1 Soluzione per 0 ≤ k < 3 + 2 √3

2 Soluzioni per 3 + 2 √3 ≤ k ≤ 2 + 2 √5

La geometria analitica della retta nel piano cartesiano

1) dati i punti A(2; 3) e B(-3; -3), determinare l'equazione della retta in forma implicita ed esplicita

2) data l'equazione del polo im forma implicita, y - mx + (2m - 2) = 0 determinare le coordinate del polo P; successivamente determinare il punto di intersezione Q tra la retta r: 3y -2x + 4 = 0 e la retta del fascio perpendicolare alla retta r, e la distanza PQ

La geometria analitica della parabola nel piano cartesiano

1) trovata l'equazione della parabola passante per i punti A(-1; 0), B(0; -2) e C(2; 0), determinare l'equazione delle rette del fascio avente polo P(2; -2) che risultino tangenti alla parabola suddetta.

4) data la parabola di equazione y = x2 - 4x e la retta y = - 6x - 1, verificare che esse sono tangenti in un punto A e calcolare l'area del triangolo AVF dove V, F sono rispettivamente vertice e fuoco della parabola.

5) scrivere l'equazione delle parabole con asse parallelo a y , passanti per i punti A(1; -3), B(-1; -1) e aventi per direttrice la retta di equazione y = - 7 2

La geometria analitica della circonferenza nel piano cartesiano

1° CASO

2° CASO

3° CASO

4° CASO

1) trovata l'equazione della circonferenza passante per i punti A(2; 2), B(2; 8) e A(4; -4), scrivere quella del fascio avente come polo A(2; 2) e determinare le rette del fascio tangenti alla circonferenza

La geometria analitica dell'iperbole nel piano cartesiano

La geometria analitica dell'ellisse nel piano cartesiano

Il problema della tangente all'ellisse in un suo punto P(x0; y0)

1) trovata l'equazione dell'ellisse passante per i punti M(1; √3 2 ), N( 3 2; √7 2), determinare l'equazione della retta tangente all'ellisse e passante per M.

2) Determinare l'equazione dell'ellisse di cui sono noti il fuoco F1 (2 √2; 0) e l'eccentricità e = 2 √2 3 . Una volta scritta l'equazione, determinare le rette tangenti all'ellisse, passanti per il punto P(3; 3).

3) Determinare l'equazione dell'ellisse passante per il punto P(1; 1) e in esso tangente alla retta di coefficiente angolare - 1 2

Passaggio per F1(-3; 0) 0 = 9a' - 3b' + c' | Passaggio per F2(3; 0) 0 = 9a' + 3b' + c' | Passaggio per P(0; -√3) -√3 = c'

Passaggio per F1(-3; 0) 9 + 0 - 3A + 0 + C = 0 3A - C = 9

Passaggio per V(0; -√3) 0 + 3 + 0 - B√3 + C = 0 B√3 - C = 3

Passaggio per P(0; 3) 0 + 9 + 0 + 3B + C = 0 3B + C = - 9

Problemi geometrici con risoluzione di sistemi misti

Confronto della radice di un'equazione parametrica di primo grado con uno o più numeri reali dati

Confronto delle radici di un'equazione parametrica di secondo grado con uno o più numeri reali dati

Problema n° 1287 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema n° 1288 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema n° 1289 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema n° 1290 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema n° 1291 pag 400 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema n° 785 pag 351 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Sopra ad una semicirconferenza di diametro AB = 2r determinare un punto E in modo che, indicata con D la sua proiezione sul diametro AB, risulti la relazione fondamentale del problema 2 ED + AD = kr

Problema n° 776 pag 350 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema n° 775 pag 350 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Con vertice nel centro O di una semicirconferenza di diametro AB = 2r considerare un angolo retto in modo che, indicati con C e D i punti in cui i lati dell'angolo incontrano la semicirdonferenza, sia 2kr il perimetro del quadrilatero convesso ABDC

Problema n° 133 pag 418 del Bergamini, Barozzi, Trifone - Equazioni, disequazioni e Geometria analitica ecc. - Zanichelli (edizione del 2007)

In una circonferenza di diametro AB condurre la retta tangente in A. Determinare un punto P sulla circonferenza in modo che, dette M ed N le sue proiezioni ortogonali sul diametro e sulla tangente rispettivamente, risulti 3NP + 2MP = kr k ∈ R

Problema n° 1293 pag 401 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema n° 1317 pag 406 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema n° 1318 pag 406 del Ferrauto - il Problema geometrico e la Geometria analitica (edizione del 1982)

Problema di geometria analitica, testo preso su internet

Problema n. 327 pag. 558 testo Lamberti, Mereu - Lezioni di Matematica 1 - ETAS edizioni (2008)

Problema n. 17 pag. 701 testo Lamberti, Mereu - Lezioni di Matematica 1 - ETAS edizioni (2008)

Problema n. 18 pag. 701 testo Lamberti, Mereu - Lezioni di Matematica 1 - ETAS edizioni (2008)

Problema n. 21 pag. 701 testo Lamberti, Mereu - Lezioni di Matematica 1 - ETAS edizioni (2008)

WORK IN PROGRESS!!

2) data l'equazione del polo im forma implicita, y - mx + (2m - 2) = 0 determinare le coordinate del polo P;
successivamente determinare il punto di intersezione Q tra la retta r: 3y -2x + 4 = 0 e la retta del fascio perpendicolare alla retta r, e la distanza PQ

4) data la parabola di equazione y = x² - 4x e la retta y = - 6x - 1, verificare che esse sono tangenti in un punto A e calcolare l'area del triangolo AVF dove V, F sono rispettivamente vertice e fuoco della parabola.

Il problema della tangente all'ellisse in un suo punto P(x₀; y₀)

*1) trovata l'equazione dell'ellisse passante per i punti M(1; √3 2 ), N( 3 2; √7 2)**, determinare l'equazione della retta tangente all'ellisse e passante per M.*

2) Determinare l'equazione dell'ellisse di cui sono noti il fuoco F₁ (2 √2; 0) e l'eccentricità e = 2 √2 3 .
Una volta scritta l'equazione, determinare le rette tangenti all'ellisse, passanti per il punto P(3; 3).

Passaggio per F_₁(-3; 0) 0 = 9a' - 3b' + c' | Passaggio per F_₂(3; 0) 0 = 9a' + 3b' + c' | Passaggio per P(0; -√3) -√3 = c'

Passaggio per F_₁(-3; 0) 9 + 0 - 3A + 0 + C = 0 3A - C = 9

Sopra ad una semicirconferenza di diametro AB = 2r determinare un punto E in modo che, indicata con D la sua proiezione sul diametro AB, risulti la relazione fondamentale del problema

2 ED + AD = kr

In una circonferenza di diametro AB condurre la retta tangente in A.
Determinare un punto P sulla circonferenza in modo che, dette M ed N le sue proiezioni ortogonali sul diametro e sulla tangente rispettivamente, risulti

3NP + 2MP = kr k ∈ R